法向量在空间几何中的作用

天堑变通途——法向量在空间几何中的作用在新课标《数学》（选修1-2）中，给出了平面的法向量的定义，但却没有作详细的解释和应用，而偏偏法向量在空间几何中扮演着一个非常重要的角色。法向量的应用打破了空间几何的传统解法，它可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象，直接使用代数运算来解决空间几何中的距离和角的大部分问题。本文就法向量的重要应用作简单讲述，希望能起到抛砖引玉的作用，使读者能更好的挖掘法向量的作用！一、法向量的含义在新课标《数学》（选修1-2）第112页中提到：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量。由定义可知，法向量并不是唯一的，由于直线l的任意性，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量，因此，在选取法向量的时候，应尽量选取方便计算的一个法向量。二、法向量在空间几何中的应用1、点到面的距离结论：（如图所示）设点P在平面外，点A是平面内的任意一点，n是平面的一个法向量，则点P到平面的距离nnPAPQd。例1、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CG所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示。则B（0，4，0），E（2，4，0），F（4，2，0），G（0，0，2），于是)2,2,4(),2,4,2(GFGE，设),,(zyxn是平面EFG的一个法向量，则00GFnGEnAQPnyYxDFAEBCGz所以有02240242zyxzyx解得：xzxy3即)3,,(xxxn，不妨取)3,1,1(n又因为)0,0,2(BE所以点B到平面EFG的距离11112112311301012222nnBEd注：为斜足。的斜线，是平面内的向量，是平面和EEFGBEEFGGFGE2、异面直线间的距离结论：（如图所示）设21ll和是异面直线，向量n满足21lnln且，点C、D分别是直线21ll和上的任意一点，则异面直线21ll和的距离nCDnd。例2、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，求异面直线A1C1与AB1的距离。解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示。不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）于是)1,1,0(),0,1,1(111ABCA设,,),,,(111ABnCAnzyxn且则由00111ABnBAn，得00zyyx，解得x=y=z，则),,(xxxn，不妨取)1,1,1(n又因为)0,1,0(11BADBE1l2lCAxABCyB1DA1D1zC1所以，异面直线A1C1与AB1的距离333111110111022211nBAnd注：向量11BA的两个端点必须分别是两条异面直线上的一个点。3、线面所成的角结论：平面外的一条直线AB，n是平面的一个法向量，如果nAB,是一个锐角，则直线AB与平面所成的角就是nAB,的余角，即nAB,2；如果nAB,是一个钝角，则直线AB与平面所成的角就等于2,nAB。例3、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a2，求直线AC1与面ABB1A1所成的角的大小。解：以A点为原点，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，过A点垂直于面ACC1A1的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示。则A（0，0，0），B)0,2,23(aa，B1)2,2,23(aaa，C1)2,,0(aa，于是)2,0,0(),0,2,23(1aAAaaAB设),,(zyxn为面ABB1A1的一个法向量，则001AAnABn，有020223azyaax，解得：033zyx，所以)0,,33(yyn，不妨取)0,1,33(n又因为)2,,0(1aaACBAnyCBxAB1C1A1z所以213323201033,cos111aaanACnACnAC所以60,1nAC，即直线AC1与面ABB1A1所成的角为304、二面角求二面角的大小就是求它的平面角的大小，而两个平面的法向量的夹角正好等于二面角的平面角本身或是平面角的补角，所以求二面角有也可以用法向量来求解。例4、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F：FA=1：2，求平面B1EF与平面ABCD所成的夹角的大小。解：设正方体的棱长为1，以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，则)32,0,1(),0,1,21(),1,1,1(1FEB所以)1,0,21(),31,1,0(11EBFB设),,(zyxn是平面B1EF的一个法向量，则0011EBnFBn有0203zxzy解得：zxzy23，所以),3,2(zzzn，不妨取)3,1,6(n又因为ABCDDD平面1，所以DD1就是平面ABCD的一个法向量，且），，（1001DD设是平面B1EF与平面ABCD所成的夹角，则4646394611001)31()2(110)31(02cos22222211DDnDDn所以46463arccosBlAO2n1nA1DFxAByECC1B1zD1注：由于二面角的范围是（0，），所以如果用法向量来求二面角的时候，应先确定二面角的大致范围，再根据实际问题确定是取法向量之间的夹角还是取夹角的补角！因此在解二面角的时候，应慎用法向量的方法。法向量是几何代数化的一个重要桥梁，它能很好的把空间几何的距离和角的问题转化成代数运算问题，使我们能绕开那些烦琐的空间图形，而直接得到结果！但同时也提醒读者，法向量并不能完全将空间几何的所有问题都解决，我们还是需要掌握一些必要的空间图形知识。