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法拉第电磁感应定律【本讲教育信息】一.教学内容：法拉第电磁感应定律【基础知识】1.法拉第电磁感应定律在电磁感应现象中，不管电路是否闭合，只要穿过这个电路所围面积的磁通量发生变化，电路中就有感应电动势产生，电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即，在国际单位制中可以证明其中的k=1，所以有。对于n匝线圈有。公式中，若恒定，则感应电动势E恒定，若变化，则感应电动势也是变化的。通常Δt为一段时间，计算的是Δt时间内的平均感应电动势。Δt→0时，的极限值等于感应电动势的瞬时值。2.法拉第电磁感应定律的运用有两种典型情形：第一，回路面积不变，穿过回路的磁场变化，如本例，此时；第二，穿过回路的磁场恒定，回路面积变化，此时。（1）根据法拉第电磁感应定律可以证明：垂直于磁场方向的导体棒，当它以垂直于磁场方向的速度运动时，产生的感应电动势大小为E=BLv。式中B为磁场的磁感应强度，L为导体棒长度，v为导体棒运动的速度。如果导体棒运动的速度方向和磁场方向不垂直，如图所示。此时，我们可以将导体棒的速度v分解为垂直于磁场方向的分量和沿磁场方向的分量，显然对感应电动势没有贡献。所以，导体棒中感应电动势为。产生感应电动势那部分导体相当于电源，在电源内部，电流从负极流向正极，不论回路是否闭合，都设想电路闭合，由楞次定律或右手定则判断出感应电流方向，根据在电源内部电流从负极到正极，就可确定感应电动势的方向。将均匀电阻丝做成的边长为l的正方形线圈abcd从匀强磁场中向右匀速拉出的过程，仅ab边上有感应电动势E=Blv，ab边相当于电源，另3边相当于外电路。ab边两端的电压为3Blv/4，另3边每边两端的电压均为Blv/4。（2）导体棒转动产生的感应电动势直导线在磁场中转动切割磁场线而产生感应电动势，电动势的大小如何求呢？如图，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外，长L的金属棒oa以o为轴(转动轴与磁感线平行)在该平面内以角速度ω逆时针匀速转动,求金属棒中的感应电动势。在应用感应电动势的公式时，必须注意其中的速度v应该指导线上各点的平均速度，在本题中应该是金属棒中点的速度，因此有。另一种推导方法：如图所示，铜棒OA长为L，在匀强磁场B中以角速度ω逆时针方向旋转，我们可以以OA为边，作一假想的非闭合回路OCA在Δt时间内，铜棒转过角度Δθ，回路面积的改变为扇形面积若是半径r的圆盘在匀强磁场B中以角速度ω匀速转动，当盘平面垂直于磁场方向时，导体盘可以视为无数由半径相同的铜条并联而成。故半径为r的圆盘在磁感应强度为B的匀强磁场中以均匀角速度ω匀速转动所产生的感应电动势，且盘心的电势高于盘边缘的电势。【典型例题】例1.在一横截面积为的100匝圆形闭合线圈，电阻为0.2Ω。线圈处在匀强磁场中，磁场方向垂直线圈截面，其磁感应强度B随时间t的变化规律如图所示，求线圈中感应电流的大小。由题给B—t图像可知，B随时间均匀变化，磁感应强度的变化率（B—t图线的斜率）为恒量。线圈截面与磁场方向垂直，则穿过截面的磁通量变化率。因此，线圈中产生的感应电动势和感应电流为（V）（A）例2.如图所示，U形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m的金属棒ab，ab与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L1、L2，回路的总电阻为R。从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B=kt，（k0）那么在t为多大时，金属棒开始移动？解：由=kL1L2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL∝B=kt∝t，所以安培力将随时间而增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab将开始向左移动。这时有：例3.如图所示，长L1宽L2的矩形线圈电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力的大小F；⑵拉力的功率P；⑶拉力做的功W；⑷线圈中产生的电热Q；⑸通过线圈某一截面的电荷量q。解：这是一道基本练习题，要注意计算中所用的边长是L1还是L2，还应该思考一下这些物理量与速度v之间有什么关系。⑴⑵⑶⑷⑸与v无关特别要注意电热Q和电荷q的区别，其中与速度无关！例4.如图所示，竖直放置的U形导轨宽为L，上端串有电阻R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab保持水平而下滑。试求ab下滑的最大速度vm。解：释放瞬间ab只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动势E、感应电流I、安培力F都随之增大，加速度随之减小。当F增大到F=mg时，加速度变为零，这时ab达到最大速度。由，可得这道题也是一个典型的习题。要注意该过程中的功能关系：重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。进一步讨论：如果在该图上端电阻的右边串联接一只电键，让ab下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，还可能闭合电键后就开始匀速运动，但最终稳定后的速度总是一样的）。例5.如图（a），圆形线圈P静止在水平桌面上，其正上方悬挂一相同的线圈Q，P和Q共轴。Q中通有变化电流，电流随时间变化的规律如图（b）所示。P所受的重力为G，桌面对P的支持力为N，则（）A.B.C.D.解：线圈Q内电流变化使穿过P的磁通量发生变化，线圈P中产生的感应电流阻碍引起产生感应电流的磁通量的变化。如图（b）、时刻Q中电流不变，穿过P的磁通量不变，根据法拉第电磁感应定律，P中不产生感应电流，P只受重力G和桌面的支持力N作用，由平衡条件N=G，所以D正确，B错。时刻Q中电流增强，穿过P的磁通量增多，P中产生感应电流，感应电流产生的效果是阻碍P中磁通量的增多，即安培力欲使P远离Q，此时P受重力G，桌面支持力N和向下的安培力F作用，由平衡条件G＋F=N，所以NG，A正确。时刻Q中电流的变化率、P中磁通量的变化率均不为零，所以P中产生感应电流，但因Q中电流i=0，故P不受安培力作用，N=G，所以C错。答案：AD【模拟试题】1.一匀强磁场，磁场方向垂直纸面，规定向里的方向为正。在磁场中有一细金属圆环，线圈平面位于纸面内，如图（甲）所示。现令磁感应强度B随时间t变化，先按图乙中所示的Oa图线变化，后来又按图线bc和cd变化，令E1、E2、E3分别表示这三段变化过程中感应电动势的大小，I1、I2、I3分别表示对应的感应电流，则（）A.E1E2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向B.E1E2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向C.E1E2，I2沿顺时针方向，I3沿逆时针方向D.E2=E3，I2沿顺时针方向，I3沿顺时针方向2.如图所示，有一闭合线圈放在匀强磁场中，线圈的轴线和磁场线方向成30°角，磁感应强度随时间均匀变化，用下述方法中的哪一种可使线圈中的感应电流增加一倍（）A.使线圈的匝数增加一倍B.使线圈的面积增加一倍C.使线圈的半径增加一倍D.改变线圈的轴线方向，使之与磁场方向平行3.如图所示，金属三角形导轨COD上放置一根金属棒MN，拉动MN使它以速度v向右匀速平动。如果导轨和金属棒都是粗细相同的均匀导体，电阻率都相同，那么在MN运动过程中，闭合回路的（）A.感应电动势保持不变B.感应电流保持不变C.感应电动势逐渐增大D.感应电流逐渐增大4.如图所示，平行导轨间距为d，一端跨接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于平行金属导轨所在平面。一根金属棒与导轨成θ角放置，金属棒与导轨的电阻均不计。当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v在金属轨上滑行时，通过电阻R的电流强度是（）A.B.C.D.5.如图所示，a、b、c为三个在同一平面内的同心圆环，环的半径，各环的电阻都相等。当a环中通入的顺时针方向的电流突然增大时，b、c两环中感应电流的方向及大小的关系是（）A.均为顺时针，B.均为逆时针，C.均为顺时针，D.均为逆时针，6.两个匝数不同，但大小、材料、总质量均相同的正方形线圈，先后从磁场外同一高度自由下落，垂直穿过磁场区域后落地（不计空气阻力）则它们（）A.下落的时间相同，线圈产生的热量相同B.下落的时间相同，匝数少的线圈产生的热量多C.匝数少线圈落地的时间少，产生的热量多D.匝数多线圈落地的时间少，产生的热量多7.如图（a）所示，水平放置的两平行导轨左侧连接电阻，其他电阻不计，导体杆MN放在导轨上，在水平恒力F的作用下，沿导轨向右运动，并将穿过方向竖直向下的有界匀强磁场，磁场边界PQ与MN平行，从MN进入磁场开始计时，通过的感应电流i随时间t的变化可能是图（b）中的（）（a）（b）8.如图所示矩形线圈长为L，宽为h，电阻为R，质量为m，自某一高度在空中自由下落（空气阻力不计），然后进入一宽度也为h的磁感应强度为B的匀强磁场中，线圈进入磁场时的动能为，穿出磁场时的动能为，这一过程线圈中产生的焦耳热为Q，线圈克服安培力做功，重力做功为，线圈重力势能减少量为Δ，则下列关系中正确的是（）A.B.C.D.9.如图（a）所示，A是一边长为l的正方形线框，电阻为R。今维持线框以恒定速度v沿x轴转动，并穿过图中所示的匀强磁场B区域。若以x轴正方向作为力的正方向，线框在图示位置的时刻作为时间的零点，则磁场对线框的作用力F随时间t的变化图线为图（b）中的（）（a）（b）10.如图所示，用铝板制成“”型框，将一质量为m的带电小球用绝缘细绳悬挂在框的上板上，让整体在垂直于水平方向的匀强磁场中向左以速度v匀速运动，悬线拉力为T，则（）A.悬线竖直，T=mgB.悬线竖直，TmgC.v选择合适的大小，可使T=0D.条件不足，不能判定11.如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场中有正方形线框abcd，线框总电阻为R，边长为L，每边质量为m，磁场方向水平向右。开始时线框处于水平位置且bc边与磁场垂直。把线框由静止释放使它以bc为轴，在ts内由水平位置转到竖直位置刚好又静止下来，则在这个过程中，线框中平均感应电动势为____________，产生的热量为____________。12.一电容器的电容为10μF，垂直于回路平面的磁场的磁感应强度以的变化率增加，回路面积为，如图所示，则A、C两板的电势差为____________V，A板带电荷的种类为____________，带电量为____________C。13.如图所示，abcd为一边长为l，具有质量的刚性导线框位于水平面内，bc边中串接有电阻R，导线的电阻不计。虚线表示一匀强磁场区域的边界，它与线框ab边平行，磁场区域的宽度为2l，磁场磁感强度为B，方向竖直向下，线框在一垂直于ab边的水平恒定拉力作用下，沿光滑水平面运动，直到通过磁场区域。已知ab边刚进入磁场时，线框便变为匀速运动，此时通过电阻R的电流的大小为，试在图的坐标上定性画出：从导线框刚进入磁场到完全离开磁场的过程中，流过电阻R的电流i的大小随ab边的位置坐标x变化的曲线。14.如图所示，正方形线圈abcd边长为L，电阻为R，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，当线圈以ab边为轴、角速度ω匀速转动至图示位置时，穿过线圈的磁通量变化率=____________，磁力矩M=____________。15.把一个矩形线圈从有理想边界的匀强磁场中匀速拉出如图。第一次速度为，第二次速度为，且，则两情况下拉力的功之比=____________，拉力的功率之比=____________，线圈中产生的焦耳热之比____________。16.如图所示，MN、PQ是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场。磁感应强度为B，在导轨的M、P