泛函分析半期试卷及参考答案

2012—2013学年第2学期数计学院10级数学与应用数学专业《泛函分析》半期考试试卷一设ijnnAa是实矩阵，2,11nijijija，其中1,,0,.ijwhenijwhenij试证明：对任意列向量nb，线性方程组AXb都在n中有唯一解。（20分）二设,Vab表示,ab上右连续的有界变差函数全体，在其上定义baxxaVx，试证明是范数，,Vab因此而成为巴拿赫空间。（20分）题号一二三四五六总分统分人复核人得分评卷人考生信息栏院（系）班级姓名学号………………………………………………装……………………订……………………线……………………………………三举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间。（10分）四设12,,,,nXXX是一列内积空间，令21,nnnnnXxxXx，当,nnxyX时，规定nnnnxyxy，其中,是数，定义1,,nnnnnxyxy，证明：X是内积空间，并且当每个nX都是Hilbert空间时，X也是Hilbert空间。（10分）五设X是Hilbert空间，f是X上的连续线性泛函，那么存在唯一的zX使,fxxz，并且fz.（20分）六在0,2上求函数2,0,12,1,2xxfxx的傅里叶级数，并指出它的收敛性，是否处处收敛于fx？（20分）