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教学单元教案格式课程教案授课题目：9.2投影定理教学时数：授课类型：□理论课□实践课教学目的、要求：注：指教学中要体现“课程的总体目标”和“章、节或实践教学单元的目标”、预期达到的效果等。注：指该章、节的重点和难点部分，学生必须掌握的知识点和技能。实践教学还包括实践操作训练的主要指导要点；关键环节、关键技术指导方法等。教学重点：教学难点：教学方法和手段：注：是根据教学目的进行教学方式（讲授、演示、实验、实作、讨论、案例分析、仿真或真实现场实作指导等）、教学辅助手段（教具、模型、图表、实物、现代教学设施设备，以及特殊教学或实践环境等）、师生互动、板书等的设计。要能有效地调动学生的学习积极性，促进学生的积极思考，激发学生的潜能。注：以下内容按实际需要进行取舍教学分组；注：指导教师及学生分组情况说明安全事项；注：教学实践过程中的人身、设备、仪器及产品等安全；操作安全规范说明；或安全隐患防范措施等。教学条件；注：教学场地、设施、设备、软件等要求说明；参考资料；注：是提供给学生课后参考，辅助其掌握课程教学内容，扩大知识面的资料其它；注：指另行增加的要素项目，由各系、教研室根据不同专业不同课程的教学需要自行规定其名称和要求。第页课程教案教学内容及过程旁批注：是指通过对教学大纲、教材和主要参考资料的研析，确定本教学单元的课程教学知识信息的总和。实践课还应注重其对实践环节的指导性，必要时应包含实践步骤及其说明。教学引入（可选）：教学内容与教学设计：注：此部分详略取决于教师教学经验多少、教学内容的熟悉程度；经验少、内容较生疏的教师此部分应更详细。问题的提出：投影定理：设Y是Hilbert空间X的闭子空间，那么有YYX一基本概念：1正交：设X是内积空间，yx,是X中的两个向量，如果.0,yx则称x与y互相垂直或正交，记为yx。如果X的子集A中每个向量都与子集B中的每个向量正交，则称A与B正交，记为BA。特别当A只含有一点x时，则称x与B正交，记为Bx注：X中两个相互正交的向量x与y成立勾股公式，即222yxyx定义2设X是内积空间，M是X的子集，称集合MxXxM|为M在X中的正交补。注：1是中的闭线性子空间2若是中的线性子空间，则定义3设X是线性空间，Y和Z是X的两个子空间，如果对每个，存在唯一的和，使则称X是Y和Z的直和，记为其中Y和Z称为X的一对互补子空间，Z(或Y)称为Y(或Z)的代数补子空间。特别地，若X是内积空间，且，称X是Y和Z的正交和，记为投影定理：设Y是Hilbert空间X的闭子空间，那么有证明思路：对，存在唯一的和，使得此时有问题转化为证明对任意，存在唯一的，使得问题1：在什么时候存在，使得二投影定理的证明：命题1设X是内积空间，Y是X的线性子空间，，若存在，使得，那么定义：设X是度量空间，M是X的非空子集，，称为点x到M的距离，记为d(x,M)由命题1，投影定理的证明又转化为问题2：在什么情况下，对任意，存在，使得而且这样的y是唯一的？命题2设X是内积空间，Y是X的完备子空间，则对每个，存在唯一的，使实际上，命题2可以推广到下面更一般的结论。定理1（极小化向量定理）设X是内积空间，M是X中非空凸集，并且按X中由内积导出的距离完备，那么对每个，存在唯一的，使得定义：设X是线性空间，x,y是X中两点，称集合为X中联结x和y的线段，记为[x,y]。如果M是X中的子集，对M中任意两点x,y,必有，则称M为X中的凸集。注：线性子空间一定是凸集。三投影定理的相关结论1由投影定理，当Y是Hilbert空间X的闭子空间时，对每个，存在唯一及，使称y为x在空间Y上的正交投影，简称为投影。利用投影，可以定义X到Y上的映射P如下:对任意，令其中y是x在Y上的投影，称P为X到Y上的投影算子。投影算子的性质：(1)P是X到Y上的有界线性算子,且当时,(2)(3)2设X是内积空间，M是X的子集，记，显然反之，有引理设Y是Hilbert空间X的闭子空间，则有3引理：设M是Hilbert空间X中的非空子集，则M的线性包spanM在X中稠密的充要条件为。证明：作业布置：注：作业、思考题、讨论题、实验实训报告、实作实训练习等课后小结：注：教师完成本教学单元教学后对教学设计、教学重难点把握、教学方法应用、教学效果等课堂教学过程情况的总结与分析，为以后教学提供经验和素材