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第五讲重积分、平面曲线积分以及积分的应用一、内容提要：本讲主要是讲解二、三重积分的概念、性质与计算，平面曲线积分的概念、性质与计算以及定积分的应用、二重积分的应用问题。二、重点：本讲的重点是二重积分的计算，平面曲线积分，定积分的应用问题。难点：本讲的难点是三重积分的计算，三重积分的应用问题。三、内容讲解：1、重积分：1、1二重积分的概念：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域，其中表示第I个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点（ξi,ηi），作乘积f（ξi,ηi）（i=1,2,…，n），并作和如果当各小闭区域的直径中最大值λ趋于零时，这和的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作,其中f(x,y)叫做被积函数叫做被积表达式，叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和。在直角坐标系中，有时也把面积元素记作dxdy，而把二重积分记作，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。二重积分的几何意义：二重积分在几何上表示以曲面z=f(x,y)为顶，闭区域D为底的曲顶柱体的体积。至于三重积分的概念，我们就不再说了，自已看一下。下面我们讲一下重积分的性质。三重积分的的概念：设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n个小闭区域，其中表示第I个小闭区域，也表示它的体积，在每个上任取一点（ξi,ηi,ζi），作乘积f（ξi,ηi,ζi）（i=1,2,…，n）,并作和，如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分，记作,即=，其中dv叫做体积元素。三重积分的几何意义表示物体质量M的近似值。1.2重积分的性质：性质1、被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即（k为常数）性质2、函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差），即性质3、如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和，即性质4、如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的面积，则σ=性质5、如果在D上，f(x,y)≤（x,y），则有不等式，特殊地，由于-|f(x,y)|≤f(x,y)≤|f(x,y)|，又有不等式性质6、设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则有mσ≤≤Mσ性质7、（二重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ为D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η）使得下式成立：1.3二重积分的计算：按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和区域来说，这不是一种切实可行的方法，现在我们来讲两种计算二重积分的方法。（1）利用直角坐标计算二重积分：设积分区域D可以用不等式≤y≤,a≤x≤b来表示，则这个先对y后对x的二次积分也常记作类似地，如果积分区域D可以用不等式≤y≤，c≤y≤d来表示，其中函数、在区产[c,d]上连续，则有上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也记作(2)利用极坐标计算二重积分：直角坐标与极坐标的关系是x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤+∞,0≤θ≤2л）设D={（r,θ）|≤r≤,α≤θ≤β}则=特别（i）D={（r,θ）|0≤r≤,α≤θ≤β}则有=（ii）D由闭曲线r=r(θ)所围成，则=例3、计算其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。解：在极坐标系中，闭区域D可表示为0≤r≤a，0≤θ≤2π，由公式可得，=1.4三重积分的计算：（1）用直角坐标来计算：设={(x,y,z)|z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}且D={(x,y)|≤y≤,a≤x≤b}则例4、计算：I=，其中是由z=0,y+z=1,y=x2所围成的区域。解：={（x,y,z）|0≤z≤1-y,(x,y)∈D,}其中D={(x,y)|x2≤y≤1,-1≤x≤1}I=（2）利用柱面坐标计算三重积分：直角坐标系与柱面坐标的关系是：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z（0≤r≤+∞,0≤θ≤2л,-∞≤z≤+∞）设={(r,θ,z)|(r,θ)≤z≤(r,θ),(r,θ)∈D},其中D={(r,θ)|r1(θ)≤r,≤r2(θ),α≤θ≤β}则例5、利用柱面坐标计算：I=其中是由z=-1,z=1,x2+y2-z2=1所围成的区域。解：-1≤z≤1，0≤r≤,0≤θ≤2л则I=（3）利用球面坐标计算三重积分：直角坐标与球面坐标的关系：x=rsincosθ,y=rsinsinθ,x=rcos,(0≤θ≤2л,0≤≤л,0≤r≤+∞)，此处要注意如何判断θ、、r的取值，r为原点O与点M间的距离，为有向线段OM与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角，这里P为点M在xoy面上的投影。如下图所示：例6、设空间区域:x2+y2+z2≤R2，x≥0,y≥0，z≥0,则求解：0≤≤л/2，0≤r≤R,0≤θ≤л/2，则==2、平面曲线积分：2.1对弧长的曲线积分的概念、性质及其计算问题。概念：设L为xoy平面内的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界，用L上的点M1，M2，…Mn-1把L分成n个小段，设第i个小段的长度为△si，又（ξi,ηi）为第i个小段上任意取定的一点，作乘积f（ξi,ηi）△si(i=1,2,…n)，并作和,如果当各小弧段的长度的最大值λ趋向于0时，这和的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作即=其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时=总存在，当L为闭曲线时，曲线积分可记为，特殊地，当f(x,y)表示曲线形构件的线密度时，就表示该构件的质量M。第一类曲线积分的性质：（1）（线性性）其中α、β为常数）（2）（可加性）当L=L1+L2时第一类曲线积分的计算方法：设f(x,y)在曲线弧；上有定义且连续，；的参数方程为（α≤t≤β）其中、在[α,β]上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且=（αβ）如果曲线L由方程y=(x)（x0≤x≤X）给出，则有（x0≤X）类似地，如果曲线L由方程x=给出，（y0≤y≤Y）则有（y0≤Y）例7、计算，其中L是抛物线y=x2上点O（0，0）与点B（1，1）之间的一段弧。解：2.2对坐标的曲线积分概念、性质及计算：概念：设L为xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有界，用L上的点M1(x1,y1)，M2(x2,y2)…Mn-1(xn-1,yn-1)把L分成n个有向小弧段，(i=1,2,…n，M0=A，Mn=B)设xi=xi-xi-1,yi=yi=yi-1，点（ξi,ηi）为上任意取定的点，如果当各小弧段长度的最大值λ→0时，的极限存在，则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分或P(x,y)dx在有向曲线弧L上的第二类曲线积分，记作。类似地，如果存在，则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，或Q(x,y)dy在有向曲线弧L上的第二类曲线积分，记作即=,=当P(x,y)、Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续时，,都存在，+通常记作第二类曲线积分的性质：（1）当L=L1+L2时，（2）=其中-L表示与L反向的有向曲线弧。两类曲线积分之间的联系：=其中（x,y）、（x,y）为有向曲线弧L上点（x,y）处的切线向量的方向角。第二类曲线积分的计算：设P(x,y)、Q(x,y)在有向曲线弧L肯定义且连续，L的参数方程为其中t单调地由变到时，点M（x,y）从L的起点A没L运动到终点B，、在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且=如果L由方程y=或x=给出，则有=例8、例8、计算，其中L为抛物线y=x2上点A（1，-1）与点B（1，1）之间的一段弧。解：3、积分的应用：3.1定积分的应用：定积分的应用一般表现在以下几个方面，（1）求平面图形的面积：若平面图形由曲线y=f1(x)y=f2(x)和直线x=a,x=b所围成，则其面积A=若平面图形由曲线r=,r=，及射线所围成，则其面积A=例9、计算由两条抛物线：y2=x、y=x2所围成的图形的面积。解：解方程组：得到两组解，x=0,y=0及x=1,y=1，即这两抛物线的交点为(0,0),(1,1)，A=(2)旋转体的体积：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，由连续曲线y=f(x)，直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体体积为vx=,类似地，绕y轴旋转一周而成的立体体积为vy=例10、计算由椭圆所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。解：这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆及x轴所围成的图形绕x轴旋转而成的立体。取x为积分变量，它的变化区间为[-a,a]，旋转椭球体中相应于[-a,a]上任一小区间[x,x+dx]的薄片的体积，近似于底半径为、高为dx的扁圆柱体的体积，即体积元素dV=，于是所求旋转椭球体的体积为（3）平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由某曲面及平面x=a,x=b所围成，过点且垂直于x轴的截面面积为A(x)，则其体积为v=(4)平面曲线的弧长：设曲线弧的方程为y=y(x),(a≤x≤b),y(x)在[a,b]上具有一阶连续导数，则其弧长为设曲线弧的参数方程为，（α≤t≤β）其中、在[α，β]上具有连续导数，则其弧长为S=设曲线弧的极坐标方程为r=r(θ)（α≤θ≤β），其中r(θ)在[α,β]上具有连续导数，则其弧长为例11、计算曲线y=x3/2上相应于x从a到b的一段弧的长度。解：现在y’=x1/2,从而弧长元素ds=根据公式有：s=3.2(1)求曲面的面积：设曲面S由方程z=f(x,y)给出D为曲面S在xoy面上的投影区域，函数f(x,y)在D上具有一阶连续导数，则曲面S的面积为例12、求球面x2+y2+z2=25被平面z=3所分成的上半部分曲面的面积。解：曲面在xoy面上的投影区域D为x2+y2≤16，故=（2）平面薄片的重心与转动惯量：设平面薄片占有xoy面上的区域D，在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y)假设ρ(x,y)在D上连续，则薄片的质量为：M=，薄片重心的坐标为：、薄片关于x轴的转动惯量：Ix=薄片关于y轴的转动惯量：Iy=例13、求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量ρ）对于其直径边的转动惯量。解：取坐标系如下图所示，Ix=其中M=