注重数学的解题方法提高解题技巧

注重数学的解题方法提高解题技巧曾雨亮（湖南省蓝山县所城中学425811）[摘要]：21世纪的数学教育要求我们的教学必须培养学生的独立工作能力；培养处理自然、社会的能力；培养具有创新意识的创造性人才。而数学的解题方法就是一种能较好地开发学生创造性思维，在培养学生灵活性、创造性方面具有积极作用的方法。因而教师注重数学的解题方法的教学，提高学生的解题技巧，这就显得尤为重要了，笔者在本文例谈了一些中学数学常用的解题方法的粗浅的看法。[关键词]：数学解题方法技巧数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。下面就结合例题介绍几种初中数学常用的解题方法，它们都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。例1.化简351343分析：此题的突破口在于：1343＝（212)2121＝2(121)，后面方法可类似运用配方法构造成完全平方公式。解：原式＝235(121)＝3423＝23(31)＝312＝1(62)22、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。例3.若xyz，，为非负数，且xyz121223，求xyz222的最小值。分析：此题是比值代换的问题，题目中有多个变量，根据已知条件，利用换元法将多个变量用一个变量来表示，以达到避繁就简的效果。解：设xyzk121223则xkykzk212132，，于是xyzkkk2222217126176176617由于xyzkkk000210210320，，，得解得k12当时，即，，时kxyz122072xyz222654取最小值。3、待定系数法待定系数法是一种最基本的数学方法，运用待定系数法解题的一般步骤是：先根据已知条件设出一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式的性质列出几个方程，组成方程组，通过解方程组而求出各待定系数的值，或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数间存在的关系.例3.若χ+3是多项式χ2+mχ－15的一个因式，求m的值，并将χ2+mχ－15分解因式.分析：此题运用待定系数法分解因式，把多项式先设为含有待定系数的因式的积，再根据恒等的意义，运用比较系数法，求出待定系数，从而得出答案.解：设χ2+mχ－15=(χ+3)(χ+n).∵χ2+mχ－15=(χ+3)(χ+n)=χ2+nχ+3χ+3n=χ2+(n+3)χ+3n，∴m=n+3,解得:m=－2,－15=3n.解得:n=－5.∴χ2+mχ－15=χ2－2χ－15=(χ+3)(χ－5).4、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。例6试证：对任何0c0,b0,a，都有222222cacacbcbbaba，当有仅当c1a1b1时等号成立。分析:观察题目特点，从60cosab2bababa2222联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，60DBCABD，由余弦定理得：accaAC,bccbDC,abbaAD222222ADC中，ACDCAD，则：accabccbabba222222。但当A、D、C三点共线时等号成立，此时，CBDABDABCSSS，即60sinab21120sinac2160bcsn21bcabac，即c1a1b1点评：本题若不构造一个三角形，而是运用三角知识解题，直接将两边平方，则无论是用综合法还是分析法，不仅计算过程十分复杂，而且很不容易说明。5、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。例5求证：2是无理数。分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。证明：假设2是有理数，则存在baNba,.,且互质，使2222baba，从而，a为偶数，记为ca2，∴224ca，∴222bc，则b也是偶数。由a,b均为偶数与a、b互质矛盾，故2是无理数。6、消元法消元法通常是在一些较为复杂的问题中，未知数量比较多或未知数次数比较高时，为了保证先求出其中的一种数量，通过对某些数量的比较，设法先消去一个或几个未知量，待求出这个数量后，再求其它数量关系。例⒈解方程:x3+(1+2)x2-2=0仔细观察原方程，发现其中含有与2两个数字，由于，故可想到原方程化为关于“2”的一元二次“方程”，而将x暂时看作常数，这样，只要求得该“方程”的解，即可望求得x的值。解：将原方程化为0222322xxx解此关于“2”的“方程”，得,2x⑴或.22xx⑵由⑴得x;21由⑵得x,2124212x.21242137、数学归纳法数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．以下通过试题来谈一谈数学归纳法的应用。用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。例7．是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］•3k+1+9=3［（2k+7）•3k+9］+18（3k--1－1），由于3k-1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36.通过以上例题可以看出：解题方法在初中数学中应用非常广泛。作为初中数学教师，若能在日常教学过程中，加强用解题方法的教学，将极大地提高学生学习数学的兴趣和解题技巧,同时，也将有利于学生创造力的开发及提高学生解决实际问题的能力，为培养创造性工作人才打下坚实基础，符合21世纪的教学要求。