泰勒展开式的计算

实验六：泰勒展开式的计算1、实验目的:介绍使用Mathmatica进行泰勒展开的方法，从不同角度对泰勒展式进行观察和讨论，着重对泰勒余项的误差分析，使学生理解展开位置0x和展开阶数n对计算误差的影响，研究泰勒展式的应用2、实验指导:一、级数1．求和与求积求有限或无穷和、积的函数是：Sum[f，{i，imin，imax}]求maxmin)(iiiif，其中imin可以是-∞，imax可以是∞（即+∞），但是必须满足imin≤imax。基本输入模板中也有求和专用的符号，使用模板输入更方便。Sum[f，{i，imin，imax}，{j，jmin，jmax}，…]求多重和，也可以使用基本输入模板连续多次输入求和符号得到。Product[f，{i，imin，imax}]求maxmin)(iiiif，基本输入模板中也有求积符号。Product[f，{i，imin，imax}，{j，jmin，jmax}，…]求多重积，也可以使用基本输入模板连续多次输入求积符号得到。例1求下列级数的和与积：（1）nkk12，（2）121kk，（3）11kk，（4）112kke。解：In[1]：=Sum[k^2，{k，1，n}]Out[1]=)21)(1(61nnnIn[2]：=12^/1kkOut[2]=62In[3]：=1/1kkSum：：div：Sumdoesnotconverge.Out[3]=11kkIn[4]：=1]2^/1[kkExpOut[4]=62e说明：上例中第三个级数发散，Mathematica给出提示，并在不能给出结果时将输入的式子作为输出。NSum和NProduct得到数值解。2．将函数展开为幂级数将函数展开为幂级数的函数调用格式如下：Series[f，{x，x0，n}]将函数f（x）在x0处展成幂级数直到n次项为止。Series[f，{x，x0，n}，{y，y0，m}]将函数f（x，y）先对y后对x展开。例2展开下列函数为幂级数：（1）y=tgx，（2）xxysin，（3）y=f（x），（4）y=exy。解：In[1]：=Series[Tan[x]，{x，0，9}]Out[1]=109753][283562315171523xoxxxxxIn[2]：=Series[Sin[x]/x，{x，0，9}]Out[2]=108642][362880504012061xoxxxxIn[3]：=Series[f[x]，{x，1，7}]Out[3]=3)3(2)1](1[61)1](1[21)1](1[]1[xfxfxff5)5(4)4()1](1[1201)1](1[241xfxf87)7(6)6(]1[5040)1](1[)1](1[7201xoxfxfIn[4]：=Series[Exp[xy]，{x，0，3}，{y，0，2}]Out[4]=4332323][][][2)][(1xoxyoxyoyxyoy说明：上例中In[3]表明也可以展开抽象的函数。对已经展开的幂级数进行操作的两个函数是：Normal[expr]将幂级数expr去掉余项转换成多项式。SeriesCoefficient[expr，n]找出幂级数expr的n次项系数。例3将y=arcsinx展开为幂级数，只取前9项并去掉余项。解：In[1]：=Series[ArcSin[x]，{x，0，9}]Out[1]=109753][11523511254036xoxxxxxIn[2]：=Normal[%]Out[2]=115235112540369753xxxxxIn[3]：=SeriesCoefficient[%1，5]Out[3]=4033．傅里叶级数求傅里叶级数就是求出傅里叶系数，傅里叶系数是一个积分表达式，所以利用积分函数Integrate就可以实现。例如，设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E，周期为T，这种信号在一个周期[2T，2T]内的表达式为2||02||)(ttEtf求其傅里叶级数时，可以先求出傅利叶系数。为了和Mathematica中的常数E相区分，以下用Ee表示脉冲幅度，用tao表示脉冲宽度τ，根据傅利叶系数的积分表达式，输入以下语句：a0=2/TIntegrate[Ee，{t，-tao/2，tao/2}]a[n_]=2/TIntegrate[EeCos[2nPit/T]，{t，-tao/2，tao/2}]b[n_]=2/TIntegrate[EeSin[2nPit/T]，{t，-tao/2，tao/2}]可得到下面三个输出，即分别是a0，an与bn，即a0=TE2，an=TnnEsin2与bn=0从而可写出给定的傅利叶级数为：12cossin12)(iTnTnnETEtf3、实验任务:1、展开下列函数为x幂级数，并求其收敛区间。)(21xxeey；（2）y=cos2x；（3）y=（1-x）ln（1-x）2、将函数xxxf2,)(2110xx分别展开成正弦级数和余弦级数。