方阵最小多项式的求法与应用

1方阵最小多项式的求法与应用[摘要]:本文首先介绍了方阵A的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用.[关键词]:方阵；最小多项式；不变因子MinimalpolynomialofasquarematrixanditsapplicationsFENGYu-xiang(Class1,Grade2001,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:AssociateProf.LIZhi-hui[Abstract]:TheminimalpolynomialofsquarematrixAisdiscussed,andfourmethodsofsolutionfortheminimalpolynomialarepresented.Furthermore,theapplicationsoftheminimalpolynomialarestudied.[Keywords]:squarematrix;minimalpolynomial;invariantoperation一、引言文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C上n阶方阵和多项式.二、最小多项式的性质及求法由哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵A，AEf)(是A的特征多项式，则,0)1()()(12211EAAaaaAfnnnnn即就是任给数域P上的一个n级矩阵A，总可以找到数域P上的多项式)(xf，使得0)(Af.如果多项式)(xf使得0)(Af，我们就称)(xf为矩阵A的零化多项式.当然A的零化多项式很多的，于是我们有定义1设nnCA，次数最低的首项为1的A的零化多项式称为A的最小多2项式，记为)(A.最小多项式有以下一些基本性质：定理1[1]设AnnC，则（1）A的任一零化多项式都能被)(A整除；（2）A的最小多项式)(A是唯一的；（3）相似矩阵最小多项式相同.2．1由特征多项式求最小多项式定理2[1]0是A的特征多项式零点的充分条件是0为A的最小多项式)(A的零点.证明：见参考文献[1].推论1若n阶方阵A的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积：smsmmf)()()()(2121，其中i是A的相异的特征值，im是特征值i的重数，且,1nmsii则A的最小多项式具有如下形式：sdsddA)()()()(2121，其中),,2,1(simdii为正整数.推论1实际上给出了由方阵A的特征多项式，求最小多项式的方法.例1求矩阵211121112A的最小多项式.解：因为A的特征多项式为)4()1()(2f，根据推论1便可知，A的最小多项式有以下两种可能：（1）（4），)4()1(23由于0000000000211121112111111111)4)((EAEA因此，A的最小多项式为)4)(1(.有时)(f在分解时比较困难，但由推论1可知，A的最小多项式实质包含A的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出.))(),((()(fff例2求矩阵1333313333133331A的最小多项式.解：1333313333133331AE=512320484234)80243(4)(512320484)(23234ff由辗转相除法求得(168))(),(2ff于是168512320484))(),(()(2234fff=3242=8)4(于是)8(4)(3fA的最小多项式有以下三种可能：),8)(4(),8()4(2)8()4(34而0)8)(4(EAEA，因此A的最小多项式为)8)(4(.2．2按最小多项式的定义及存在性求最小多项式定理3[1]任意n阶矩阵A都存在最小多项式)(A.证明：参见文献[1].这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是：第一步试解EA0若能解出0，则A的最小多项式为0)(A；若EA0关于0无解，则做第二步试解EEA102若能解出0与1，则A的最小多项式为102)(A若不能解出0与1，则做第三步试解22103AAEA若能解出0，1与2，则A的最小多项式为22103)(A若不能解出0，1与2，则再做第四步试解3322104AAAEA等等，直到求出i（),,,2,1,0mi使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿---凯莱定5理，这样的过程最多只有n步即可终止），这时用代替A，便得到所求最小多项式)(A.例2求矩阵1101111001111111A的最小多项式.解：（1）试解EA0，显然关于0无解.（2）试解AEA102写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求0和1，例如，比较第一行（3，2，0，-1）；AE10的第一行为（11110,,,），从而的方程组202311110此方程组显然无解.（3）试解22103AAEA写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解0，1和2，这可由此比较方程两边第一列：1)7,7,7,6(；2210AAE的第一列:121221310)2,2,2,3(,得关于0，1和2的方程组:7272726321221210解此方程组得270,01,2726因为对于上面解出的0，1和2,矩阵方程232927AAA成立.所以A的最小多项式为2927)(23A2.3利用Jordan标准型求最小多项式定理4[1]设矩阵nnCA,则A的最小多项式可以由sdsddA)()()()(2121给出,其中),,2,1(sii是A的相异的特征根,),,2,1(sidi是在A的Jordan型J中包含i的各分块的最大阶数.证明:参见文献[1].推论2当A的所有特征值都相异时,A的最小多项式)(A就是A的特征多项式AEf)(.由定理4,在一般情况下,A的最小多项式可以通过求出它的Jordan标准型J获得.例3求矩阵200001020000002000001200101112100000A的最小多项式.解：由A的特征多项式33)2()1()(AEF知A有两个不同的特征值：2,121（均为三重的）.容易求得5)(EArank，所以对于11的特征向量仅有一个，这表示对应的Jordan块的数目是1.又由于,4)2(EArank对应于22的特征向量有2个，因此对应于22的Jordan块7共有2块.故A的Jordan标准型为：221211111可见J中包含11的块的阶数31d，包含22的Jordan块的最大阶数22d，因此A的最小多项式为：23)2()1()(A2.4利用不变因子求最小多项式引理1[4]A的最小多项式是A的初等因子的最小公倍式.证明：相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子.因此只要对A的若当标准型矩阵J证明即可.设SJJJ21，其中iiiiJ11，si,,2,1并且.1nnsii我们已知iJ的最小多项式是ini)(，现在对任一多项式)(f有)()()()(21sJfJfJfJf因此0)(Jf当且仅当0)()()(21sJfJfJf.这就是说，)(f是J的化零多项式)(f是sJJJ,,,21的化零多项式，进一步，)(g是J的最小多项式必须)(g是sJJJ,,,21的化零多项式，因此是的最小多项式的公倍式；另一方面，这些iJ的最小多项式的任一公倍式必须是J的化零多项式，因而被)(g整除.故J的最小多项式必须是sJJJ,,,21的最小多项式，即J的8初等因子snsnn)()()(2121的最小公倍式.定理5[4]A的最小多项式恰为A的最后一个不变因子.证明由于A的最后一个不变因子)(nd具有性质nidd|)(，,1,,2,1ni所以nd中包含了A的初等因子所有互异的指数最高一次因式的幂，它恰是A的全部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.例5证明12211000000010001000)(aaaaaAnnn的不变因子是11,,1,1n，)(f，其中nnnnaaaf111)(.证明：因为)(A的左下角的1n阶子式为1)1(n，所以1)(1nD，于是)()()(121nDDD将)(A的第二，第三，…，第1n行，第n行分别各乘以122,,,,nn都加至第一行上，依第一行展开即得：nnnnnaaaAD111)()(因此，)(A的不变因子是11,,1,1n，)(f.由定理5可知，A的最小多项式实质为A的最后一个不变因子)(nd，而)()()(1nnnDDd，其中)(nD为A的n阶行列式因子，故可得求A的最小多项式的方法.例6求矩阵92345100010001)(A的最小多项式.解：543223451000100012344D)(A右上角有一个三级子式11001001所以1321DDD5432,1,1,12344321dddd所以)(A的不变因子是1，1，1，5432234，它的最小多项式为5432234三、最小多项式的应用这一节我们将讨论最小多项式的一些应用3．1求矩阵的高次幂例7已知4513416103A，求100A解：3)1()(AEf，由0EA，而0)(2EA，知A的最小多项式2)1()(g，所以A不能对角化.但我们有)()()1(2100baq用待定系数法令1，1ba，对上式求导后再令1，解得1099,100ba因此，300500100300499100600100020199100100EAA3.2判断矩阵是否可逆例8设)(g是矩阵A的最小多项式.)(h是任意多项式，证明：)(h可逆的充要条件是1))(),((gh证：若1))(),((gh，则存在)(),(vu，使1)()()()(vguh于是Euh)()(，故0)(Ah