博迪金融学第七章套利和风险中性定价法等

金融工程分析方法分析方法无套利分析法积木分析法此外还有复制、组合、模块分析法、风险中性定价法等。无套利分析法套利在没有成本和风险的情况下，能够获取利润的交易活动。无套利定价原则无套利的定价原则如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。如果市场是有效率的话，市场价格必然无套利价格无套利定价原理无套利的价格是什么:无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。例子1有两家公司A和B，税前收益都是1000万元,它们的资本构成如下:A公司100万股，A公司的预期收益是10%，所以股价是（1000万元/10%）/100万股=100元/股B公司60万股，市价是90元/股4000万企业债券，年利率是8%，付息320万/年套利方法如下:头寸情况1%A股票空头1%B债券多头1%B股票多头净现金流即期现金流+10000股×100元/股=100万元-1%×4000万元=-40万元-6000股×90元/股=-54万元+6万元未来每年现金流-EBIT的1%1%×320万元=3.2万元1%×（EBIT-320万元）0只有当B企业的股票价值是100元/股时,才不会引起套利活动。假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？套利过程是：期初：现金流是06个月后现金流是0一年后现金流是17万10%的利率借入6个月资金1000万元12%的利率贷出1年期资额1000万元签订一份远期利率协议，规定按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元+1000万-1000万0还款1000万元和51万利息借入1051万-1051万+1051万收回本息还本付息1127万1110万投资者无套利定价法的主要特征(1)无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。(2)无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。(3)无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合（自融资组合）。案例二远期价格一不分红股票的预期收益率为15%，现在的价格是S0=100元，1年期无风险利率是rf=5%。问现在该股票的1年期远期价格应是多少？?假如股票的远期价格是F=115元，我们设计如下交易策略：F=100×(1+15%)=115持仓量（头寸）即期现金流未来到期现金流以无风险利率借入100元定价为115的1股股票的远期合约空头以100元的价格购买1份股票现货（多头）+1001050115–S1100S1净现金流010无风险套利用远期合约和无风险证券来复制该股票复制了1份股票现货股票的远期价格应是105元到期股票价格案例三运用无套利定价法为期权定价Case：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。(1)构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足下式：11Δ-0.5=9Δ，所以Δ=0.25该无风险组合的现值应为：2.25e-0.1*0.25=2.19由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：10×0.25–f=2.19则有f=0.31续案例三积木分析法积木分析法也叫模块分析法，指的是将各种金融工具进行分解或组合，以解决各种金融和财务问题。在了解积木分析法之前，我们先来看一下各种金融工具的损益图：（现货或远期、期货）多头损益图K0K:交割价格ST:到期时现货价格损益(V)KSVTlST（现货或远期、期货）空头损益图KST0TSSKV损益(V)K:交割价格ST:到期时现货价格期权的四种头寸期权看涨期权多头(买进权力)看涨期权空头(权力卖出)看跌卖出标的资产看涨买进标的资产SX(盈利,履行协议)SX(盈利，履行协议)看涨时才履行的期权看跌时才履行的期权看跌期权空头(权力卖出)看跌期权多头(买进权力)K-CCKSMaxPayoffT)0,(损益ST欧式看涨期权多头损益图盈亏转折点KC)0,(KSMaxCPayoffT损益ST欧式看涨期权空头损益图盈亏转折点K-PPSKMaxPayoffT)0,(损益ST欧式看跌期权多头损益图盈亏转折点KP)0,(TSKMaxPPayoff损益ST欧式看跌期权空头损益图盈亏转折点==++金融工程的积木图积木分析法图解积木分析法可用下图描述：=+金融工程的积木图看涨期权多头+看跌期权空头==+金融工程的积木图看跌期权多头+看涨期权空头==+金融工程的积木图现货多头+看跌期权多头==+金融工程的积木图现货空头+看跌期权空头==+金融工程的积木图现货空头+看涨期权多头==+金融工程的积木图现货多头+看涨期权空头=风险中性定价法在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。风险中性定价法相关案例假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P。e-0.1*0.25【11p-9*(1-p)】=10，则得P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以就出该期权的价值：f=e-0.1*0.25【0.5*0.6266-0*(1-p)】=0.31Generalcase假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。股票价格和期权价格无套利定价法与风险中性定价法的关系首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的Δ值。如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（SuΔ-fu）e-r（T-t）,而构造该组合的成本是SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-r(T-t)，所以1(1)rTudfePfPf（）()rTtedPud1无套利定价法的思路2风险中性定价的思路假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：)[(1)]rTtSeSuPSdP（()rTtedPud(1)rTudfePfPf此外还有状态定价法等状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。A是有风险证券，其目前的价格是，一年后其价格要么上升到u，要么下降到d。这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q）和下降状态（概率是1-q）。基本证券1基本证券2市场状态u时的值10市场状态d时的值01现值du由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r所以()rTtude()()11rTtrTtuduedeudud，只要这两种基本证券存在,我们就能为A定价:购买u份基本证券1和d份基本证券2组成一个假想的证券组合。该组合在T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流APAPAPuAPdAPud=u+d或1=u+d只要有具备上述性质的一对基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。关于有价证券的价格上升的概率p，它依赖于人们作出的主观判断，但是人们对p认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。假设某股票符合我们上面提到的两种市场状态，即期初价值是，期末价值是，这里只可能取两个值：一是=Su=u,u＞1,二是==d,d＜1。我们现在想要确定的是依附于该股票的看涨期权的价值是多少？我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B（相当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票。该组合的成本是N-B，到了期末，该组合的价值V是N-RB，R是利率因子。对应于的两种可能，V有两个取值：如果=Su,则V=Vu=NSu-RB，如果=,则V==N-RB。0S1SdS0S1S0S1S1SdV1SdS1SdS0S1S1S()()e,e.uurTtuddrTtdVNSBcVNSBc0()()()()/()(()/[()],()/[()]()()/()udududduududrTtddrTtudrTtNccSSccudSBScScSSeNScedcuceud由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有N-B=c0,把N和B代入本式中，得到看涨期权的价值公式其中0Sud-r(T-t)0c=[pc+(1-p)c]er(T-t)r(T-t)0dudp=(eS-S)/(S-S)=(e-d)/(u-d)