施光燕第4讲用初等行变换计算逆和秩

用初等行变换计算矩阵的逆和秩1、什么是初等行变换？初等行变换包括三类：1、两行交换。2、某行乘以一个非零的常数。3、某行的倍乘加到另一行上。为什么是这三种？因为这三种变换不会改变方阵的行列式的值是0还是非零，最多改变了一下行列式值的正负。但是，初等行变换肯定还是把矩阵给改变了，但是改变的是形式，其某些内涵的特征却没有变。如矩阵的秩就没有变。2、用初等行变换求矩阵的逆设A存在逆1A，则计算方法是：1-用初等行变换AIIA即：将A从第一列开始依次向第二列，第三列推进，最后化成I，则旁边的I也就自动化成了1A。记住：计算完1A一定要验算一遍3、矩阵的子式设有一个3*4的矩阵A，如果想得到A的2阶子式，则就是在A中任取2行2列。那么在交叉点处得到的值可以组成行列式3252B就称为是A的一个2阶子式。显然子式，其实是一个正方形的行列式，也就是一个值。4、矩阵的秩是什么？矩阵的秩是矩阵的一个指标。就如同人健康的指标其中一个是舌苔一样。秩可以刻画矩阵的很多性质。秩的定义：矩阵A中非零子式的最高的阶数称为A的秩。记为r(A)所以求秩的时候，如果用定义，如上题，n肯定＞=2，再划出三阶子式，一共找到34C个，再从这4个3阶子式中找到一个不等于0的，找到了r(A)就=3，找不到r(A)就=2。因为子式是方形的行列式，因此，m*n矩阵A的r(A)只能在矩阵A中圈方块找≠0的最大方块，显然，),min()(nmAr另外，如果矩阵A是一个n阶的方阵，若A可逆，必有0A，那么整体的矩阵的行列式值都不为0了，显然r(A)=n.因此对于方阵A来说，若0A，则r(A)=n.即：nArn)(可逆A阶方阵0A5、用矩阵的初等变换求秩例如这种矩阵称之为阶梯阵（第n+1行的第一个非零元素再第n行第一个非零元素的右边，当然是从头开始排）。如果是阶梯阵，那么秩比较容易看出来，任意划方形找最大的不等于0的方形行列式，如蓝色圈起的部分，显然r(B)=3。因为任意圈4个或5个的方形行列式必然=0.显然，因为矩阵的初等变换变换不改变秩，于是从左向右一列一列的用初等变换变换成阶梯阵。再看有几行，有几行秩就等于几。