流体力学习题及答案-第四章

-1-第四章流体动力学基本定理及其应用4-1欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：pfvvtv1其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。（2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：Cgzp2V2，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。4-2设进入汽化器的空气体积流量为sm/15.0Q3，进气管最狭窄断面直径D=40mm，喷油嘴直径d=10mm。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm，汽油液面距喷油嘴高度为50cm，试计算喷油量。汽油的重度3/7355mN。答：（1）求A点处空气的速度：设进气管最狭窄处的空气速度为1v，压力为1p，则根据流管的连续方程可以得到：QvdD12241，因此：2214dDQv。（2）求真空度vp选一条流线，流线上一点在无穷远处F，一点为A点；并且：在F点：0Fpp，0Fv；在A点：?1App，1Avv。将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：gvpp202110-2-因此真空度为：222222221101842121dDQdDQvpppv若取空气的密度为3/226.1mkg，那么计算得到：Papv3222221095.901.004.0114.315.0226.18。（3）求喷油量：设喷油嘴处汽油的速度为2v，并设空气的密度为1，重度为1，汽油的重度为2。选一条流线，流线上一点为上述的A点，另一点为汽油液面上的B点；并且：在A点：2101A21vppp，?2Avv，mcmhz5.050A；在B点：0Bpp，0Bv，0Bz；代入到伯努利方程中，可以得到：00221120222102phgvvp；整理得到：ghvv2212122；因此汽油喷出速度为：ghvv221212；其中空气重度311/1281.9226.1mNg；2214dDQv，并注意到喷油嘴的直径是6mm，而不是原来的10mm，则计算得到：smv/817.381.9366.245.081.92006.004.014.315.016735581.9226.122222因此汽油流量为：scmsmvdQ/9.107/10079.1817.3006.014.341413342222。-3-4-3如图所示，水流流入U形弯管的体积流量Q=0.01m3/s，弯管截面由1S=50cm2减小到2S=10cm2，流速1v和2v均匀，若2S截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作用力及作用点的位置。3/kg1000m。答：（1）求截面1S和2S上的流速1v和2v：由连续方程可知：smmsm/21050/01.0SQv24311，smmsm/101010/01.0SQv24322；（2）求1S上的压力1p：已知2S上的压力2p1个工程大气压Pa5100.981；由伯努利方程：gvpgv22p222211得到：Pavvp5522212110461.1410010002110981.021p。（3）求水流对弯管的作用力P：由动量定理可以得到：22212121P-P-PSvSv。其中1P和2P分别为在1S和2S上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。因此：1S截面上作用力为：NSpp240105010981.010164.1P4551011，2S截面上作用力为：0P2022Spp。-4-因此：NSvSv3601202401010101050210240PP424232221211（4）求作用力P的作用点：设作用点距1S截面中心线的距离为e，两管中心线之间的距离为L。由动量矩定理可以得到：LSveP222；即：0.27836010036010101010PL-423222Sve。4-4如图所示，弯管的直径由d1=20cm减小到d2=15cm，偏转角为60°，设粗端表压力p1=7840N/m2，流过弯管流体的体积流量Q=0.08m3/s，求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说，1S截面处压力1p和利用伯努利方程得到的2S截面的压力2p的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为0，因此在1S和2S截面上，均应以相对压力值计算。（1）利用连续方程求截面1S和2S上的流速1v和2v：21114QSQvd，22224QSQvd；（2）利用伯努利方程求2S截面的相对压力2p：根据伯努利方程：gvpgv22p222211可以得到：22211221vvpp；（3）求管壁对流体的作用力xF和yF：-5-①求x方向作用力分量xF：由动量定理：0sinsin2222SvvPFx其中222SpP为2S截面上外界对管内流体的作用力；整理得到：NSddQpSdQdQpSvvpSvvvpSvpSvPFx32615.0142.3412315.012.01142.308.01087840sin118sin161621sin21sin21sinsin2442232424122124222412212222112222221122222222②求y方向作用力分量yF：由动量定理：22211121coscosSvvSvvPPFy，其中111SpP为1S截面上外界对管内流体的作用力，整理得到：NSvpSvpSvPSvPFy26218845033262.0142.3412.0142.308.016107840coscos242232222121122221211（4）求力的作用点：如图所示，设流体对弯管的作用力xF和yF与x轴和y轴的距离分别为ye和xe，由于1S和2S上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知0yxee，即合力作用点通过坐标原点。-6-4-5如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为v0=30m/s，水柱的体积流量Q=294m3/s，分流量Q1=118m3/s。试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角。设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。答：（1）由伯努利方程可知021vvv；（2）设流束宽度分别为0b，1b和2b，则有00/Qvb，01111/Q/Qvvb；又由连续方程可知：12Q-QQ因此：01212/Q-Q/Q-Qvvb；（3）应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角：①求偏转角度：在y方向，平板对流体的作用力0yF，即：222111sin0bvvbvv；整理得到：0sin222121bvbv将021vvv代入，可以得到：67.0118294118//sin11010121QQQvQQvQbb，即：8.41。②求x方向作用力分量xF：由动量定理得到：222000cosbvvbvvFx整理得到：)(1088.48.41cos1182942943010coscoscos6310010202020NQQQvvQQvQvbbvFx-7-4-6图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为h1，水箱2中的水位高度为h2，两孔口中心重合，而且直径d1=d2/2。若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当已知h1和水的密度时，求保持平板封盖住水箱2的孔口是h2最大值。答：（1）求水箱1出口处速度1V：在水箱1的自由液面上选取A点，在出口截面上选取B点；A点：0ppA，0AV，1hhA，其中0p为大气压力；B点：0ppB，?1VVB，0Bh。由过A、B两点的伯努利方程：BBBAAAghpVghpV222121得到：02102102110gpVghp；因此：1212ghV，112ghV；（2）求水流对封板的作用力P：由动量定理，沿垂直于封板的方向：21112122121212414141)(0dghghdvddvvPBBB；（3）求水箱2的最大高度maxh：在封板右侧，水箱2形心处的静压力为maxghp，因此封板受到水箱2的静水压力：22max224141dghdpP。当封板左右两侧压力相同时，即PP时：22max2114121dghdgh注意到2121dd，整理可得：-8-1max21hh。即水箱2液面最大高度为121h。4-7工程中常用文丘里（Venturi）管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为S1、S2，水的密度和U形测压计中液体的密度分别为m、，且m。若不计水的粘性，试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。答：设正常管路截面1-1和收缩段截面2-2的流速分别为1v和2v，则由连续方程可知：2211SvSv；又设管路的流量为Q，则：11/SQv，22/SQv；选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到：222212112121vpzzvp，整理得到：2121222121zzgvvpp；（1）取U形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面，则有：)(111hzgppA，ghhhzgppmB)(122；由于BApp，则可得到：ghhhzgphzgpm)(122111；整理可得：mghzzgpp2121；（2）将（2）代入到（1）中，可得：2121222121zzgSQSQghzzgm；再经整理得到：2221222122SSSghSQm，2122212SSSSghQm。-9-4-8圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速U均匀，在某截面x处为抛物形速度分布：Urrcru220，其中r为离管轴的径向距离，c为一未知常数。入口处和x处管截面压力均匀分布，分别为0p和xp，流体密度为，不计重力。（1）试确定常数c；（2）证明作用在o至x间，管壁上总的摩擦阻力202031UpprDx。答：（1）入口处流量为：UrQ20；由连续方程可知，x处截面的流量也是UrQ20。又由于通过x截面半径r处环形微元面积rdrds2上的流量为：drrrudQ2对其积分可得到：Ucr