流体力学第一章习题课

1教材和参考书辅导小结：1、流场的描述方法流线、轨迹、流管几何方法随体导数方法方法解析方法/LagrangeEuler2、流体的基本运动形式：012VVrrSV12r——流体微团的刚性自旋运动S——应变率张量，表示任意给定时刻流场中任意点处的流体微团的变形运动性质的物理量，共有9个分量。)(21ijjiijxuxus变形主轴和主轴坐标系任意3×3的对称矩阵总可以通过线性变换（坐标系的旋转）化成对角矩阵，或者换句话说，变形运动张量的矩阵元依赖于选定的坐标系，对于对称矩阵而言，总可以找到这样的一个坐标系，在该坐标系中变形运动张量的非对角矩阵元均为零，矩阵是对角矩阵。这个坐标系就是主轴坐标系，三个坐标轴是变形主轴。在主轴坐标系下，分别平行于三个坐标轴的三条正交的物质线元只有伸缩变形，没有剪切变形。3、应力张量1)体力（质量力）：作用于每个流体质点上。(,)Frt——表示作用于单位质量流体上的体力；流体团所受体力的合力=dF。2)面力：作用于流体团表面上的力。单位面积表面上的面力即应力。流体团所受合面力nSpds，n取外法线方向。3）应力张量，P，npnP，ijjipp。4、本构方程例题1－3目的在于熟悉流动的描述方法、随体导数的概念、流线和轨迹。例题1设流场为22,,0EEuxtvytw，求流线、轨迹和加速度，并以Lagrange变数表示质点的速度和加速度。解：这是一个二维流动，流线微分方程22dxdyxtyt，*t是参量，不是积分变量积分得xky，其中k为积分常数。这是一个中心对称的平面辐射状流动。由于速度场方向定常，因而流线2与轨迹重合。轨迹方程也可如下求得。设初始时刻位于,ab的流体质点t时刻到达,xy处，故,,,,rabtVxytt，即22dxxtdtdyytdt，*t是积分变量积分并利用初始条件得参数化轨迹方程3333ttxaeybe，消参后得byxa。Lagrange速度：332323,ttLLxyuatevbtett。Lagrange加速度：333333(2),(2)ttLxLyuatateatbtet。欧拉加速度场：222224222224()2()2EEEExEEEEEEyEEuuuauvtxyxtxtxtytxttxyxt+xtvvvauvtxyytxtytytyttxyyt+yt例题2试给出在极坐标，柱坐标及球坐标系中之流线的微分方程。答：极坐标下，vrdvdrr；柱坐标下，zrvdzvrdvdr；球坐标下，sinrdrrdrdvvv。例题3一定常直流管，其中心线上的流速在40cm的一段距离内由14m/s变为15m/s。若变化是均匀的，试估计流管在这段距离的起点和终点处的对流加速度。答：沿流管中心线取自然坐标系，对流加速度VVVVs，其中s代表沿流管中心3线的方向导数。VVVVVssV。此时，由于速度沿管中心线线性增大，故111ms2.5s0.4mVs。所以起点处-2-22.514ms35msa，终点处-2-22.515ms37.5msa，加速度方向沿流管中心线切向。一般地，沿弯曲的流管中心线有2ˆˆˆˆVVVVVVVVVnVnssRsR，其中ˆ和ˆn分别代表自然坐标系的切向和主法向单位向量，R为曲率半径，ˆn指向曲率中心。例题4目的在于熟悉流体基本运动形式和变形运动张量。已知某流场czwcyvcxu4,,，c为常量，求1）微团自转角速度和变形运动张量；2）原点极小邻域内的点(,0,0)a的相对于原点的变形运动速度。解：1）微团自转角速度102V，变形运动张量cccS4000000。1122332sssc，因而该流动为可压缩流体的无旋流动。2）00000000400ddducaacvcwc。