旋转与证明

已知四边形OAFB为正方形，正方形边长为2，双曲线0()myxx经过BF边的中点C．（1）如图1，写出F点的坐标，并求出双曲线的解析式．（2）如图1，过F点作直线，是否存在这样的直线，它与双曲线两个交点的距离为2．（3）如图2，过F点作直线，交双曲线于D、E，分别过D、E作直线2yx的垂线，垂足分别为M、N，直线OF交直线MN于Q点，求证：：直线DN平分线段QF．yxCAFBOyxQNMECAFBOD图1图2解答：（1）F（2，-2），双曲线的解析式：2yx．（2）过定点F的最短弦必垂直于对称轴yx，这条弦的方程为4yx，联立方程组：24yxyx，消去y，得2420xx，显然这个方程有根，设这个方程的两根分别为1x、2x，则有124xx，122xx，所以2212121228xxxxxx，222121212448yyxxxx，因此，这条弦与双曲线的交点的距离为4．因此不存在这样的直线，它与双曲线两个交点的距离为2．（3）将图2中的图形作一个旋转变换（旋转角45度），如图3：yxPNMEBAFQOD图3设点N的坐标为2,n，点P的坐标为3202,，则直线NP的的方程为32()yxn……○1，直线EF的方程为222422xynn……○2，联立○1和○2，解得得两直线的交点H的坐标为234242323,mmmm．这里，224mn．双曲线的的方程为224xy，（双曲线顶点与原点的距离为2），把H点的坐标代入双曲线的左边，得22222342442323mmxymm，右边=4，所以左边=右边．这就是说，点H在双曲线上，也就是说，点H与点D重合．因为点P平分QF，所以DN平分QF．