无穷小及其应用

无穷小及其应用杜雪梅（西华师范大学数学与信息学院，四川南充）【摘要】无穷小量在分析学的早期发展中起着不可或缺的作用,它是大学数学中最重要的概念之一。无穷小量在很多方面都有着广泛的应用，譬如判断级数的敛散性、广义积分、求函数的极限运算等，它的存在推动了数学科学的发展。本文提出无穷小量的重要性，并从其定义出发，阐述无穷小量的相关概念，归纳总结了它的基本性质并加以说明，同时通过理论讲述和具体实例相结合的方式展示了无穷小量在各个方面的运用，从而帮助读者更好的理解无穷小并掌握其应用。【关键词】无穷小量；极限；正项级数；广义积分；小量分析Abstract:Infinitesimalplaysanintegralroleintheearlydevelopmentofanalytics,itistheuniversityoneofthemostimportantmathematicalconcepts.Infinitesimalinmanywayshaveawiderangeofapplications,suchasjudgmentofconvergenceanddivergenceofseries、generalizedintegrals、limitsofoperationandotherfunctions,itsexistencepromotedthedevelopmentofmathematicalsciences.Inthispapertheimportanceofinfinitesimal,andfromitsdefinition,describesrelatedconceptsofinfinitesimal,summarizesitsbasicpropertiesandexplained,combinedwithaboutthetheoryandexamplesshowapplicationofInfinitesimalinallaspects,soastohelpthereadersbetterunderstandinfinitesimalandmastertheapplication.Keywords:Infinitesimal;limit;PositiveSeries;generalizedintegral;asmallamountofanalysis一、概述17世纪，无穷小量随着近代力学的需要登上了历史的舞台。然而，作为分析学的基础，无穷小以其无限的神秘带给了数学界几百年来激烈的争论，终于在19世纪，柯西—最伟大的数学家之一，把微积分建立在极限的基础上，使微积分体系“严密”化，从而揭开了数学严格化运动的序幕。于是，极限概念成为微积分的理论基础，其中几个重要概念如导数、积分、级数都是用极限来定义的，因此极限概念对于微积分的重要性怎么强调都不为过。正如极限对于微积分，无穷小在极限中扮演者同等重要的角色，这是因为所有极限的讨论都可以归结到无穷小，所以充分而全面的理解无穷小且良好掌握其应用，对于学好极限以至微积分都有着至关重要的作用。二、无穷小量的相关内容㈠无穷小量的概念1.设{an}为数列，如果对于任意给定的正数ε,都存在正整数N，使得当nN时，不等式|an|ε成立，即当n→∞时，数列an的极限为0，则称{an}是无穷小数列。【1】2.与无穷小数列相类似，设函数f在某U0(x0)上有定义。若0lim()0,xxfx,则称f为当x→x0时的无穷小量。【2】3.柯西利用严格的极限理论，明确指出了无穷小量是以0为极限的变量。其本质是，无穷小量是一个变量，它是针对自变量的某变化过程而言的，在该过程中无穷小的极限为0，就其绝对值而言，可以小于任意一个给定的正数ε，换言之它可以无限地接近于0。【3】简而言之，极限为0的变量称为无穷小量。4.理解无穷小的定义时，需注意以下几点：（1）这里的极限，包括数列极限与六种形式的函数极限，用数学符号来表示，即.0)(lim,0)(lim,0)(lim0)(lim,0)(lim,0)(lim,0lim000xfxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxnn；（2）无穷小量是变量，而不能理解为一个很小的量；（3）在常数中，只有数0可视为无穷小量，但无穷小量不一定是0；（4）无穷小量是相对某个极限过程而言。（二）无穷小量阶的比较从前面无穷小量的定义可清楚知道，无穷小量是以0为极限的函数，然而不同的无穷小量收敛于0的速度却是不同的，有的快有的慢。我们可以通过考察两个无穷小量的比，来对它们的收敛速度作出判断。定义：设当x→x0时，函数f(x)与g(x)都是无穷小量，且0()lim()xxfxgx=A.（1）若A=0，即x→x0时f趋于0的速度比g快，就称g为f的低阶无穷小量，或称当x→x0时f为g的高阶无穷小量，记作f(x)=o(g(x))(x→x0);（2）若存在正数K和L，使得在点x0的某个空心领域上有K≤|()()fxgx|≤L，则称f与g是当x→x0时的同阶无穷小量.特别地，若A≠0，即x→x0时f与g趋于0的速度成正比，则f与g必为同阶无穷小量；（3）若A=1，即x→x0时f与g趋于0的速度一样，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量，记作f(x)～g(x)(x→x0).比较无穷小的阶，需要注意一下三点：（1）并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较.例如，当x→0时，1sinxx和2x就不能比较，它们虽然都是无穷小量，但其比21sinxxx=11sinxx或21sinxxx=1sinxx当x→0时均不是有界量，所以它们不能进行阶的比较；（2）记法中的等式f(x)=o(g(x))(x→x0)与通常等式的含义不同.更准确地说，记号o(g(x))是一个函数类，表示f(x)所有的高阶无穷小量组成的集合，等式左端的f(x)是一个函数，这里的等号则表示集合中的“属于”关系，故等式左右两边不能随意交换位子；（3）等价无穷小量之间是一个等价关系，具有反身性、对称性、传递性。（三）常用的等价无穷小量当x→0时：sinx～xtanx～xarctanx～xarcsinx～x1-cosx～22xx～ln(1+x)x～xe-1x～1x-1x(1+x)-1～xxa-1～lnxa(1+x)n-1～xn（四）无穷小量的性质性质1两个相同类型的无穷小量的代数之和、差、乘积仍为无穷小。这里以和为例，其他的证明类似：,时的两个无穷小量是当及设x使得,0,0,021NN;21时恒有当Nx;22时恒有当Nx取N=max{N1,N2},当|x|N时，恒有,22，0()n性质2无穷小量乘以有界变量为无穷小量。证明：内有界，在设函数100)(xxxu.)(,0MxuM使得则又设α是当x→x0时的无穷小，000,0,00.xxxxM使得当时,使得当时恒有,MMuu.,0为无穷小时当uxx性质3当x→○时（此处○代表点x0或∞，下文同），函数f(x)→A等价于f(x)-A是当x→○时的无穷小量，或等价于f(x)=A+α,其中α是x→○时的无穷小量。性质4如果f是x→○时的无穷小量，那么|f|也是x→○时的无穷小量，反之亦然。性质5若f是x→○时的无穷小量，且f≠0,则1/f是x→○时的无穷大量。性质6当x→○时，若f/g→a存在，且g是无穷小量，则f也是无穷小量。性质7设f，g均是x→○时的无穷小量，则()fgfgog。性质8若f(x)～g(x)(x→x0),则存在去心领域U0(x0),使得当x∈U0(x0)时f(x)与g(x)同号，即g＋o(g)与g(x)同号。（结论易由极限的保号性得知）性质9【4】设函数f，g，h在U0(x0)上有定义，且f(x)～g(x)(x→○).(ⅰ)当x→○时，若f(x)h(x)→A,则g(x)h(x)→A;(ⅱ)当x→○时，若h(x)/f(x)→B,则h(x)/g(x)→B.性质10[4]设x→○时，f～f1,g～g1,则（ⅰ）当f/g→α≠-1时，有f＋g～f1＋g1;（ⅱ）当f/g→α≠1时，有f-g～f1－g1.性质的几点注意事项：（1）性质1可以推广到有限个无穷小量之和、差、乘积，结论依然成立，但换成无限个则不一定成立；（2）由性质5可以看出，极限与无穷小之间存在着密切的关系，利用该性质可求出函数的表达式；（3）运用f=gfg极限的乘积运算法则易证性质6；（4）由性质9可得到一种求极限的重要方法—等价无穷小量代换求极限，该方法使得求极限更加简单容易.但要注意利用此方法求极限时，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对相加或相减部分则不能随意代换，比如30tansinlimsinxxxx其正确值为12，而不能由tanx～x(x→0),sinx～x(x→0)得值为0，；（5）性质10是等价无穷小代换法的推广，利用性质9可证得结论。（五）洛毕达法则若函数f和g满足：1.limlim0xaxafg；2.在点a的某空心邻域内两者都可导，且g的导数不为0；3.'lim'xafAg（A可为实数，也可为或）则'lim'xafglimxafgA.三、无穷小量在多个方面的应用（一）在极限求解相关方面中的应用无穷小量在极限求解的过程中有着非常广泛的应用，其中利用无穷小量的等价代换法求极限是最常用的，如果能够灵活巧妙地运用此方法，那么复杂困难的求极限问题将变得简单明了。1.一般极限运算中例1已知0ln(12)()lim1cosxxxfxx=2，求02()limxfxx。解：由1-cosx～12x2(x→0)和性质9，得20ln(12)()limxxxfxx=1，再由性质5，得2ln(12)()xxfxx=1+2()fxx=1++22ln(12)xxx，其中→0（x→0）,又x-ln(1+x)～12x2(x→0)2x-ln(1+2x)～2x2,22ln(12)xxx→2(x→0),故所求极限值为3。例2利用等价无穷小量代换求极限30tansinlimsinxxxx。解：由于tanx-sinx=sincosxx(1-cosx)，而sinx～x(x→0),1-cosx～22x(x→0),sinx3～x3(x→0),故有30tansinlimsinxxxx=23012limcosxxxx=12。例3求极限0sin5tan2limln(1)xxxx。解：由x→0时sin5x～5x,tan2x～2x,ln(1+x)～x及等价无穷小代换法和性质10，得原式=052limxxxx=3。2.幂指函数极限中求解幂指函数极限的常用方法是利用恒等变换u(x)v(x)=e()ln()vxux将其转化成指数函数，然后运用指数函数的连续性求极限，但是形如00，∞0，1∞等类型的不定式极限，可以直接运用洛必达法则或等价无穷小代换法来求解。为了让读者更能看懂下列实例，这里给出一些重要的定理并加以简单证明，方便读者理解。定理1设在x=x0的某去心领域内，函数f(x)与g(x)连续，且f(x)0，0limxxf(x)=A,0limxxg(x)=B,则0limxxf(x)g(x)=AB.证明：0limxxf(x)g(x)=()ln[()]0limgxfxxxe=()0limln[()]gxxxfxe=0lim()ln()xxgxfxe=00lim()limln()xxxxgxfxe,由于0limxxf(x)=A,0limxxg(x)=B，所以0limxxf(x)g(x)=lnBAe=(lnAe)B=AB.定理2【5】设在点x=x0的某去心领域内，函数f(x)与g(x)连续，,f(x)0，且当x→x0时，g(x)与h(x)为等价无穷小量，即g(x)～h(x),则0limxxf(x)g(x)=0l