柯西不等式在初等数学中的基本应用

柯西不等式在初等数学中的基本应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。本文对柯西不等式的证明方法及其在初等数学中的基本应用作简单的阐述。关键词：柯西不等式初等数学不等式基本应用正文：柯西不等式在数学的各个领域多有涉及，而在初等数学中，柯西不等式更占据了重要的位置。我们先对柯西不等式的证明方法进行探讨，其次，通过对柯西不等式的领悟，应用它解决初等数学中遇到的一些问题。一、柯西不等式的一般证法：柯西不等式（Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.在证明n维的柯西不等式之前，我们先对二维形式以及三角形式的柯西不等式进行证明。然后，由简单到复杂，循序渐进，探讨一般形式的柯西不等式的证明方法。（1）二维形式的证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。（2）三角形式的证明：√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d|注：||表示绝对值。*表示乘≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2=(a-c)^2+(b-d)^2两边开根号即得√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]（3）一般形式的证明：柯西不等式的一般形式有两种，代数形式和向量形式，以下分别对这两种形式加以证明。a、代数形式的证明：当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立令A=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A0构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0，（请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C=0已经发生如下替换a=A，b=2B，c=C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了！）移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。b、向量形式的证明令m=(a1,a2,…,an)，n=(b1,b2,…,bn)m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cosm,n=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cosm,n∵cosm,n≤1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。二、柯西不等式在初等数学中的运用。柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。而应用柯西不等式主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的问题。（一）证明不等式。利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。a、巧拆常数：例：设a、b、c为正数且各不相等。求证：cbaaccbba9222分析：∵a、b、c均为正∴为证结论正确只需证：9]111)[(2accbbacba而)()()()(2accbbadba又2)111(9)111)](()()[()111)((2accbbaaccbbaaccbbacba证明：9)111(2又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。b、重新安排某些项的次序：例：a、b为非负数，a+b=1，Rxx21,求证：212121))((xxaxbxbxax分析：不等号左边为两个二项式积，RxxRba21,,,，每个两项式可以使柯西不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。212122212112212121)()())(())((xxxxbaxxbxxabxaxbxaxaxbxbxax证：（∵a+b=1）c、结构的改变从而达到使用柯西不等式：例若abc求证：cacbba411分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了)()(cbbacaca∴0ca∴结论改为4)11)((cbbaca4)11()11)](()[()11)((2cbbacbbacbbaca证明：∴cacbba411d、添项：例：Rcba,,求证：23bacacbcba分析：左端变形111bacacbcba)111)((baaccbcba∴只需证此式29即可2332929)111(21)111)](()()[(21)111)(()1()1()1(32baccabcbabaaccbbaaccbbaaccbcbabcccabcbabCcacbcba证明注：柯西不等式：a、Rb，则abba2推论：2)11(4)11)((baba其中a、Rb2)111(9)111)((cbacba其中a、b、Rc(二)解三角形问题。已知△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。故原不等式获证。(三)求函数最值。利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。已知a、b、c∈R+且a+b+c=1，求的最大值。解：由柯西不等式得当且仅当时等号成立。故的最大值为。总结：柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，在教学中给予了它极大的重视，我们更应该重视它的作用。另外，它不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。以后，我们应该学会运用柯西不等式去解决生活中的一些问题，这样才能更好的领悟柯西不等式。参考文献：《高等代数》第三版王萼芳、石生明编高等教育出版社《解析几何》第四版吕林根、许子道编高等教育出版社《柯西不等式与排序不等式》南山湖南教育出版社