栆八北校-高二-2.2.1综合法和分析法(25)

复习课：2.2.1综合法和分析法（2）一、【教学目标】重点：加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题.难点：理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.知识点：综合法、分析法，及其思考过程、特点.能力点：灵活运用综合法和分析法解决具体问题.教育点：养成言之有理、论之有据的好习惯，提高思维的严谨性.自主探究点：比较综合法证明与分析法证明，理解各自的优点，进而灵活选择证明方法.考试点：应用综合法和分析法证明数学问题.易错易混点：应用分析法时步骤不完整、不规范.拓展点：分析法、综合法的互相转化.二、【知识结构】1.2.综合法3.分析法三、【知识梳理】1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．要点：顺推证法；由因导果．2.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因．3.综合法与分析法的区别及优缺点（1）区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．.（2）优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点，综合法从条件推出结论，能较简捷地解决问题，但不便于思考；分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁．四、【应用举例】类型一综合法的应用例1：已知,ab是正数，且1ab，求证：114ab【分析】利用已知条件和相关定理结合，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，是常用证明方法，”1”的处理为本题带来很多变化，也是本题的切入点．证明：法一：,ab是正数直接证明综合法分析法1PQ12QQ23QQnQQ1QP12PP得到一个明显成立的条件23PP11120,20abababab当且仅当ab时取号11()()4abab又1ab114ab法二：,ab是正数，且1ab2abab，当且仅当ab时取号12ab14ab1114abababab法三：1111ababbaababab224baab当且仅当ab时取号.【设计意图】从不同切入点推导结论，加深对综合法的理解，认识应用综合法解决具体问题的灵活性和多样性，巩固综合法的一般方法步骤..变式训练:已知a，b，c是不全相等的正数，求证：abcbacacbcba6)()()(222222证明：∵22cb≥2bc,a＞0,∴)(22cba≥2abc①同理)(22acb≥2abc②)(22bac≥2abc③因为a，b，c不全相等，所以22cb≥2bc,22ac≥2ca,22ba≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号奎屯王新敞新疆∴abcbacacbcba6)()()(222222类型二分析法的应用例2已知0a，求证：221122aaaa【分析】观察到已知条件简单（0a），而证明的结论（221122aaaa）比较复杂，这时我们一般采用分析法.证明：要证221122aaaa只要证221122aaaa0a，只要证222211(2)(2)aaaa即222222111144222()2aaaaaaaa从而只要证221122()aaaa只要证2222114()2(2)aaaa即2212aa，而上述不等式显然成立.故原不等式成立.【设计意图】加深分析法的思考过程、特点的认识，比较与综合法的区别与联系，规范运用分析法解决问题时的方法步骤.变式训练：如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证：AF⊥SC证明：要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立类型三综合法与分析法的综合应用例3已知△ABC的三个内角,,ABC成等差数列，,,abc分别为内角,,ABC的对边，求证：111()()3()abbcabc【分析】分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，在形式上是不同的两种方法，本质上是统一的，同一问题可用两种不同方法解决.证明：法一：（分析法）要证111()()3()abbcabc只要证113abbcabc只要证3abcabcabbc即证1caabbc只要证()()()()cbcaababbcCFESBA只要证222caacb△ABC的三个内角,,ABC成等差数列3B由余弦定理得：2222cos3bcaac即：222caacb所以222caacb成立，故原等式成立法二：（综合法）△ABC的三个内角,,ABC成等差数列3B由余弦定理得：2222cos3bcaac得222caacb两边加abbc得：()()()()cbcaababbc两边除以：()()abbc得：1caabbc(1)(1)3caabbc即113abbcabc故：111()()3()abbcabc【设计意图】比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高思维能力.变式训练：求证：ab＋baa＋b.证明：方法一综合法ab＋ba－a－b＝aa＋bb－ab－baab＝a－ba－bab＝a－b2a＋bab0，∴ab＋baa＋b.方法二分析法要证ab＋baa＋b，只要证a2b＋b2a＋2aba＋b＋2ab，即要证a3＋b3a2b＋ab2，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)ab(a＋b)，即需证a2－ab＋b2ab，只需证(a－b)20，因为a≠b，所以(a－b)20恒成立，所以ab＋baa＋b成立五、【课堂小结】本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．【设计意图】加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．七、【布置作业】必做题1．若tan()2tan求证：3sinsin(2)证明：由tan()2tan得sin()2sincos()cos即sin()cos2cos()sinsin(2)sin[()]sin()coscos()sin3cos()sin又3sin3sin[()]3[sin()coscos()sin]3cos()sin故：3sinsin(2).2.已知1,1xy求证1(1)(1)xyxy．证明：要证1(1)(1)xyxy只要证1(1)(1)xyxy成立1,1xy10xy只要证121xyxyxyxy只要证2xyxy又因为2xyxy显然成立所以原不等式成立选作题：1.设数列na的前n项和为nS，满足(3)23nnmsmam()nN其中m为常数，且0,3mm（1）求证na是等比数列；（2）若数列na的公比()qfm，数列nb满足11ba，*13()(,2)2nnbfbnNn，求证1nb是等差数列.解：(1)由(3)23nnmsmam得11(3)23nnmsmam两式相减得1(3)2nnmama，03,mm且123nnamam，na是等比数列.（2）11(3)23mSmam11111aba，2(),3mqfmm*2nNn且时，111233(),223nnnnbbfbb11111133,,3nnnnnnbbbbbb即1nb是以1为首项，13为公差的等差数列.2.已知,ab为正实数，2cab，求证22ccabaccab证明：要证22ccabaccab只需证22cabaccab只需证2||accab只需证222()()accab，只需证2222aacccab，，即证22acaab0a只需证2cab已知2cab成立．∴原不等式成立．【设计意图】分层布置作业，让学生结合自身情况复习巩固本节内容.八、【教后反思】本节课引导学生理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题，达到了预期的教学目的．本教案的亮点在于内容安排层次性强，由浅入深，符合学生的学习规律本教案的不足，由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张．九、【板书设计】2.2.1综合法和分析法（2）一、知识梳理二、应用举例例1变式例2变式例3变式小结