根的判别式与根与系数的关系

初三数学(下学期)总复习代数专题二一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系典型例题例1求证：如果关于x的方程没有实数根，那么，关于y的方程一定有两个不相等的实数根.分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之.证明设方程即的根的判别式为，方程的根的判别式为，则∵方程无实数根，，即，解得：当时，，即.故方程有两个不相等的实数根.说明：上述证明中，判定用到了所得的结论，即，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.例2不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况.（1）；（2）；（3）.分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键.解：（1）∴方程有两个实数根.（2），∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零.∴.∴不论b取任何实数，均为非负数，恒成立.∴方程有两个实数根.（3），∴方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数.，∴需要讨论a、c的符号，才能确定的符号.当时，，方程有两个相等的实数根；当a、c异号时，，方程有两个不相等的实数根；当a、c同号时，，方程没有实数根.说明：运用一元二次方程的根的判别式时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数，当方程系数有字母时，要注意对字母取值情况的讨论.例3已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根.求证：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为，若，则.分析：运用根的判别式证之.证明∵方程有两个相等的实数根，整理，得.（1）方程的判别式.∴方程有两个不相等的实数根.（2）解方程，得说明：对于（2），也可以利用下节的根与系数关系证明.选题角度：关于用一元二次方程根的判别式进行证明的题目、关于不解方程，判别一元二次方程根的情况的题目、关于用一元二次方程根的判别式，求未知代数式值的题目、关于已知一元二次方程根的情况，求字母的值的题目、关于用一元二次方程根的判别式，证明方程根的情况的题目。一、基础知识1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac，用“△”表示．2.一元二次方程的根的判别定理△＞0方程有两个不相等的实数根．△=0方程有两个相等的实数根．△＜0方程没有实数根．△≥0方程有两个实数根．3.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么，．4.以两个数为根作一元二次方程的理论以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．5.一元二次方程的根的符号与系数的关系设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2，则两根同号两根同正两根同负有一根为两根异号x1．x2＜0(即a、c异号)两根异号且正根绝对值较大两根异号且负根绝对值较大两根互为相反数两根互为倒数6.二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内因式分解的理论若ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则有ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．二、典型例题例1已知关于x的方程x2+(a+1)x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式的值为1，求方程的根．解：设方程x2+(a+1)x+b-1=0的两个根为2k，3k．则即又∵△=1，即(a+1)2-4×1×(b-1)=1，∴(-5k)2-4×6k2=1．∴k2=1．∴k=±1．当k=1时，2k=2×1=2，3k=3×1=3．当k=-1时，2k=2(-1)=-2，3k=3(-1)=-3．所以方程两根为2，3或-2，-3．例2已知x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m值．解：∵，∴(x1+x2)(x1-x2)=0．即x1+x2=0或x1-x2=0．当x1+x2=0时，即-[-2(m+2)]=0，∴m=-2．当m=-2时，方程为x2+7=0．此时△＜0，∴m=-2舍去．当x1-x2=0时，即△=0，∴[-2(m+2)]2-4×1×(2m2-1)=0．整理，得m2-4m-5=0．解这个方程，得m=5或-1．综上，m值为5或-1．三、检测试题(一)选择题1.在方程中x2-2x+1=0，x2+2x-1=0，3x2-2x+3=0，，3x2-2x-1=0中，有两个实根的方程有()个A.2B.3C.4D.52.若关于x的方程4x2+(m-3)x+1=0有两个相等的实数根，则m值为()A.7B.7或-1C.-1D.-7或13.在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若a与c异号，则方程()A.有两个相等实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判定4.若关于x的方程4x(kx-2)-2x2+3=0没有实数根，则k的最小整数值是()A.2B.1C.-1D.不存在5.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，有一个根是零，则必有()A.b2-4ac=0B.b=0C.c=0D.c≠06.已知α、β是方程2x2-3x-4=0的两个实数根，则的值为()A.0B.0或4C.2或4D.47.若一元二次方程的两个根x1、x2满足x1x2-x1-x2+1=0，x1x2-2x1-2x2-3=0，则这个一元二次方程是()A.x2-4x+5=0B.x2+4x-5=0C.4x2+x-5=0D.x2+4x+5=08.若一元二次方程x2+px+q=0的两根为3，4，则二次三项式x2-px+q可分解为()A.(x-3)(x-4)B.(x+3)(x+4)C.(x-3)(x+4)D.(x+3)(x-4)9.已知方程2x2-7x+2=0的两根为x1和x2，下列各式计算正确的是()A.2x1+2x2=-7B.C.D.10.两根均为负数的一元二次方程是()A.4x2+21x+5=0B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x-8=0(二)填空题1.不解方程，判别方程的根的情况是_______．2.若方程mx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m__________．3.已知二次三项式x2-16+m(x+4)是关于x的完全平方式，则m=______．4.设x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则______．5.若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______，若两根互为倒数，则q=_____．6.已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1-y1=2，x2-y2=2，则m=_______．7.如果方程x2+(k-1)x-3=0的一个根是1，那么k的值是_____，另一个根是______．8.已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k=______．9.分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______．10.已知一元二次方程x2+px+q=0的两个根的倒数和是，且3p+2q=-9，则p=_____，q=_____．(三)解下列各题：1.求作一个一元二次方程，使它的根分别是方程x2+3x-2=0的各根的负倒数．2.已知关于x的方程(kx)2+2(k-1)x+1=0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)设方程有两个不相等的实数根x1、x2，且x1与x2互为倒数，求k值．3.已知方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根，且方程x2+bx+10a=0一个根是-5，求a、b的值．4.已知方程2x2+kx-2k+1=0两根的平方和为，求k值．5.已知关于x的方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0的两根之和为-1，两根之差为1，试判断以a、b、c为三边长的△ABC的形状．(四)阅读题1.已知p2-p-1=0，1-q-q2=0，pq≠1，求的值．解：∵pq≠1，∴．1-q-q2=0可化为．∴p和是关于x的方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根．则．∴．根据阅读材料所给的方法或者给你的启示，解答下题：已知2m2-5m-1=0，，m≠n，求的值．2.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．(1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根，∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3．∴α2=3α+5，β2=3β+5∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=3×3+15=24．(2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值．(五)在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长．检测试题答案：(一)选择题：1.C2.B3.B4.A5.C6.D7.B8.B9.B10.A(二)填空题：1.有两个不相等的实数根2.＜1，且≠03.84.5.016.47.3-38.-49.x2+5x+6=010.p=1q=-6(三)1.2x2+3x-1=02.(1)(2)-13.a=10，b=25或a=-2，b=14.35.等边三角形(四)1.2.-17(五)解：因为△ABC为等腰三角形，所以b=c和a=b=3或a=c=3，分两种情况讨论．当b=c时，可知△=0，即．解得m=2或-4．当m=2时，x2+2x+1=0．此时b+c=-2＜0，舍去．当m=-4时，x2-4x+4=0．此时，b+c=4．∴△ABC周长为a+b+c=3+4=7当a=b=3或a=c=3时，此时，3必为方程一根，所以有∴．∴．此时，．∴△ABC周长为．∴△ABC周长为7或．