案例余弦定理(第一课时)

案例：余弦定理（第一课时）1一、教学目标1.使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2.使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3.通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4.通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、现身科学、勇于创新的精神。二、教学重点难点重点：余弦定理及其发现和证明。难点：余弦定理的证明。关键：建立适当的直角坐标系。三、教具准备三角板，投影仪，投影片1和投影片2.四、教学过程（一）复习教师：叙述任意角的三角函数的定义。（在黑板上作图1）1石生民．高中数学课例点评[M]．西安：陕西师范大学出版社，2008年，第16-22页学生：sinyr，cosxr，tanyx，cotxy，secrx，cscry，它们分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，统称为三角函数。（二）发现教师：请同学们考虑并回答下面的问题：在直角三角形中，已知两个锐角和三边共五个元素中的几个怎样的元素，可以求其余元素？学生：两个元素。教师：是否有不同的意见和补充？学生1：其中至少有一边。教师：好！在这样的条件下，其余元素均可求，这时直角三角形是确定的。那么，在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？学生：三个，其中至少有一边。教师：已知两边一夹角，三角形能否确定？说明理由。（在黑板上作图2）学生：能，根据三角形全等的SAS判定定理。教师：既然在这样的条件下三角形是确定的，那么，其余元素，比如第三边与已知的两边一夹角一定存在着某种必然的联系，让我们从特殊的三角形——直角三角形入手，来研究这个问题（出示投影片1）。教师：问题1：如果已知a，b，怎样求斜边c？学生：勾股定理：222cab。（*）教师：问题2：若已知b，c及A，怎样用它们表示直角边a？学生：（困惑，期待）教师：受（*）式启发，a与b，c之间仍然存在着“平方和”关系：A222222222222cosacbacbbacbbcA构造平方和引入角。①教师：想一想，若已知a，c及B，怎样用其表示b？学生：2222cosbacacB。②教师：能否将（*）式也写成①，②的形式？学生：能，2222coscababC。③教师：太好了！显然①，②，③三个等式的结构相同，这是巧合吗？（稍停，语气加重）不，这是我们发现的一个客观规律！学生：（惊奇转而兴奋）。教师：你能否用文字语言叙述这一规律？学生3：直角三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。教师：很好！得出了这一规律以后，你想到了什么？学生：它在斜三角形中是否也成立。教师：太棒了！我非常高兴地告诉大家，你们的这个猜想是正确的，这就是我们这节课学习的重要定理——余弦定理（板书课题）。（三）证明教师：下面我们来证明余弦定理，余弦定理的证明有很多方法，你能想到哪些方法？学生4：作一个已知边的高，利用直角三角形证明。学生5：在直角坐标系中证明。教师：对于学生4的方法，若三角形是锐角三角形，则任意边的高均在三角形内，而三角形如果是钝角三角形（在黑板上作出图2），则夹钝角的两边上的高均在三角形外，因而需要讨论这两种情况，同学们可以在课后试一下。对于学生5的方法，我们称为坐标法，它是处理几何问题的一种常用方法，下面我们用坐标法来证明余弦定理。想一想，用坐标法证明，你应该先做什么？学生：建立直角坐标系。教师：你怎样建立直角坐标系？为什么？学生6：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系。好像前面一些三角公式的推导，也是这样建立直角坐标系的。教师：对，其实这样建立直角坐标系，可使,,ABC三点坐标容易表示，为下面的证明带来方便。（在图2中建立直角坐标系变为图3），请指出,,ABC三点的坐标。学生7：(0,0)A，(cos,sin)BcAcA，(,0)Cb。教师：很好！你能否证明下去？（指向图3）学生7：由两点的距离公式有22||(cos)(sin)aBCcAbcA2222(cossin)2coscAAbbcA222cosbcbcA，两边平方，得2222cosacbbcA。教师：这就是等式①，若分别以,BC为原点建立相应的直角坐标系（出示投影片2），则会得出怎样的等式？学生：2222cosbacacB，2222coscababC。教师：以上两个等式分别为等式②和③。至此，我们证明了等式在斜三角形中也成立，即余弦定理得到了证明。（用彩笔将等式①，②，③框起来）请你用文字语言叙述余弦定理。学生8：（任意）三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。（四）剖析教师：勾股定理与余弦定理有什么关系？学生9：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广。教师：余弦定理共有三个等式，每个等式都有同一个三角形中的四个元素，那么余弦定理的作用是什么？学生10：已知三角形中的三个元素，可用余弦定理求出其余元素。教师：是否有不同的意见？学生11：三个元素中至少有一边。学生12：不对！三个元素中至少有两边。教师：还有吗？学生13：已知三个元素应是两边夹一角，或三边。学生14：已知两边和一边对角应该也能用余弦定理求出其他元素。教师：为什么？学生14：……教师：学生14的见解是否正确还不得而知，但是很有价值，我们以后会研究这个问题。学生13说出了余弦定理的两种不同情况的用途，那么已知三边如何求角？学生15：用222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2abcCab（或0180CAB）教师：这是余弦定理的三个变形，与余弦定理的三个等式同样的重要。（五）应用教师：请看投影屏幕，应用余弦定理解决几个问题，计算时可以使用计算器。【显示】：（1）在ABC中：（Ⅰ）已知8b，3c，060A，求a；（Ⅱ）已知9a，10b，15c，求A；（Ⅲ）已知20a，29b，21c，求B；（2）在ABC中，已知2a，31b，030C，求c及,AB。学生16：（Ⅰ）7a；（Ⅱ）0'353；（Ⅲ）0'905。学生17：2c，045A，0105B。（六）小结教师：本节课我们学习了一个非常重要的定理——余弦定理。（1）请同学们掌握余弦定理，会熟练地运用它解决已知三角形两边夹一角和三角形三边求其余的边和角的问题。（2）我们用坐标法证明了余弦定理，请同学们要理解这个证明过程，要逐步学会运用坐标法。（3）我们运用了由特殊到一般的方法，“发现”了余弦定理，这种方法是人们认识客观世界的一种重要的方法，也是数学发现的重要方法之一，我们要逐步学会并善于运用这种方法探索数学问题，提高我们的创造能力。（七）作业（1）常规作业（2）课后研究题：已知三角形的两边和其中一边的对角，能否利用余弦定理求出其余的边和角？给出一个令你自己满意的结论。案例：圆的一般方程的习题课2一、教材分析高中《平面解析几何》（必修）第64页“2.6圆的一般方程”为2课时，本节课是在学习了圆的一般方程后设计的一堂习题课，内容是圆的轨迹方程的探求。教材上的内容较简单，只有第66页上的例2．如果不对教材深入挖掘，不注意教材的纵横联系，将会失去一次培养学生探究和应用能力的机会．本节课站在着眼于发展学生潜能的高度设计教学过程，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识．教学目标：通过本节课的教学，使学生掌握圆的轨迹的求法，同时通过引导学生挖掘教材内涵，培养学生探究和应用的能力，提高学生的整体素质．教材重点：轨迹方程的探求．教学难点：应用问题的建模．二、教学设计美国著名数学教育家波利亚认为：学习任何东西的最好途径是学生自己去发现，为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己去发现要学习的材料（主动学习原则）；学习材料的生动和趣味是学习的最佳刺激，强烈的心智活动所带来的愉快乃是这种活动的最好报偿，所以他认为，最佳学习动机是“学生应当对学习的材料感兴趣，并且在学习活动中找到乐趣”（最佳动机原则）；学生必须学习有序，教师教学有进（阶段渐进原则）．波利亚的“教与学三原则”为本节课的教学设计提供了理论依据，对习题课的教学具有重要的指导意义．2石生民．高中数学课例点评[M]．西安：陕西师范大学出版社，2008年，第50-53页本节习题课采用“引导探究型”教学模式设计．所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来，教师的每项教学措施，都会给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口，并主动参与学习的机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题，其教学模式是：三、教学过程1．复习旧知，以旧悟新教师：我们已经学习了圆的一般方程，圆的一般方程的形式怎样？它的圆心坐标和半径是什么?学生1：当22-40DEF时，220xyDxEyF叫做圆的一般方程，它的圆心坐标为(,)22DE，半径2242DEFr．教师：求曲线（图形）的方程分几个步骤?学生2：（1）建立直角坐标系，用(,)xy表示曲线上任意一点M的坐标；（2）用坐标表示条件()PM，列出方程(,)0fxy；（3）化方程(,)0fxy为最简形式．教师：今天我们继续学习圆的一般方程．（板书课题）2．提出问题，自我练习教师：下面我们来求一条曲线的方程（幻灯片显示）．例1已知一条曲线是与两定点(0,0)O，(3,0)A距离的比为12的点的轨迹，求这条曲线的方程并画出曲线．（学生自我练习，一位学生上黑板板书，教师巡视，对基础差的学生予以启发）学生3：解：在给定的坐标系里，设点(,)Mxy是曲线上任意一点，12OMAM，由两点间的距离公式得222212(3)xyxy，将上式两边平方整理，得22230xyx，这就是所求的曲线方程．3．讲评点拨，强化矫正教师根据巡视得到的反馈信息进行讲评．教师：上述解答过程中，,OM和,AM两点间的距离表示为OM，AM对吗？OM，AM表示什么？,OM和,AM之间的距离应怎样表示？学生4：OM，AM分别表示的是有向线段OM，AM的数量，,OM和,AM两点间的距离应表示为||OM，||AM．教师：求出曲线方程以后，依题意还要画出曲线，这个方程表示什么曲线？为了画出曲线，应先求一些什么量？学生5：这个曲线方程表示的是圆的方程，圆心坐标为(1,0)，半径224322r．教师补充画图形（略）．4．深化探索，内化回味教师：以上题为基础，改动其中某些数值，编出一些新题，结果如何？学生6：将定点改为(1,1)A，(1,2)B，则由2222(1)(1)12(1)(2)xyxy，经整理化简，得2225225()()()333xy，所表示的曲线仍然是圆．学生7：将定点改为(1,1)A，(1,2)B，比值改为23，得到的曲线方程为22213165()()()555xy，还是圆的方程．教师：由此你们能猜测出什么结论？学生8：在平面内一个动点到两个定点的距离的比是常数e的轨迹是圆．教师：此题即课本第143页第3题，请同学们证明．学生8：以两点连结线段的中点为原点，两定点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设A点的坐标为(,0)c，B点的坐标为(,0)(0)cc，动点M的坐标为(,)xy，由||||MAeMB，经整理化简，得2222222(1)(1)2(1)(1)exeycece。当1e时，方程变形为222222(1)1cexyxce，配方整理，得222222(1)2[]()11cecexyee，此方程表示的曲线是圆．当1e时，点的轨迹是线段AB的垂直平分线（y轴）．教师：以上证明很好，从上述证明中可知1e时才是圆的方程，因此猜测必须加上1e．教师：