椭圆及其标准方程教学设计

1《椭圆及其标准方程》教学设计胥娟一、教材及学情分析1．《椭圆及其标准方程》是高中数学选修1-1（人教版）2.1.1中的内容，分三课时完成.第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。本节是第一课时.2．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法学习曲线。椭圆的学习可以为后面学习双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。3．运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。二、教学目标分析1.知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导。2.过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。3.情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。三、学习者特征分析1．在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍.3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。4．该班学生是高二文科生，数学基础整体较差。5．经过近一学期的引导、鼓励，学生学习数学的积极性较高。点评：对学习者知识基础、运算能力、学习兴趣和认知特征分析较到位，能和相应的教学方法激发学生的兴趣、锻炼提高运算能力和学生学习过程的积极性。四、教学策略选择与设计1、教法设计：采用启发式教学，在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体,思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。2、学法设计：自主探究，合作交流要求学生动手实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。3、教学手段：多媒体辅助教学.通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量.点评:本节课的引入采用神州7号围绕地球旋转的壮观图片，一下子就把学生的注意力吸引住了，在创设情境，引发动机方面起到很好的效果。五、教学资源与工具设计1．多媒体教室22．每个学生准备一段细线、两枚大头针或图钉3．上网搜索有关神舟系列火箭运行轨迹图五、教学程序(一)创设情景，提出课题Ppt图片（神舟[问一]“神舟7号”围绕地球运行轨迹是什么图形？(二)自主探究，形成概念[问二]动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢？教师引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法。于是让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图，教师巡视，并抽已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示，使学生尝试到成功的喜悦.。教师进一步启发引导学生讨论，得出“到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”[思考]1.在纸板上作图说明了什么？2.在绳长(设为2a）不变的条件下，（1）当两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？（2）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？（3）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？（4）当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？3．学生自己概括椭圆定义.定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于|F1F2|.(三)师生互动，导出方程给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究.根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.[问三]1.求曲线方程的一般步骤是什么？2.建立坐标系的一般原则有哪些？学生围绕以上问题思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系、设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）.建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.[问四]怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.1.建系：以两定点F1、F2的连线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图12.设点：3设M(x,y)为椭圆上任意一点，|F1F2|=2c(c0)，则有F1（－c,0）、F2(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a(a0).3、列出方程aycxycx2(2222）（）到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出：为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.4.化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.教师引导学生化简，得到(a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2).指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要再简化。先简化a2-c2，∵ac,∴a2-c20,令a2-c2＝b2，则方程化为b2x2+a2y2=a2b2，联想到直线截距式方程，两边同除以a2b2得，12222byax（ab0）指出：方程12222byax（ab0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在x轴上，F1(-c,0)F2(c,0),这里，c2=a2-b2[问五]如果焦点F1、F2在y轴上，并且点O与线段F1F2的中点重合，a、b、c的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？学生互相讨论，交流，合情猜想，动手验证可得12222bxay（ab0）指出：12222bxay（ab0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在y轴上，F1(0,-c)，F2(0,c),这里，c2=a2-b2为了加深对椭圆的两种标准方程的理解，比较椭圆的两种标准方程，填表.（学生讨论回答，教师板书）不同点标准方程图形焦点坐标共同点定义a、b、c的关系焦点位置的判定(四)初步运用，强化理解4例题1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明a2，b2和焦点坐标.(1)1162522yx(2)112222mymx2．椭圆2x2－3y2＝1焦点坐标为3．椭圆125922yx的焦距是，焦点坐标为；若AB是过下焦点F1的弦，则△F1AB的周长是图3(五)自我评价，反馈调节1．椭圆196422yx上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是2．动点P到定点F1（－5，0），F2（5，0）的距离的和是10，则动点P的轨迹为（）（A）椭圆(B)线段F1F2(C)直线F1F2(D)不能确定3．简化方程：10)3()3(2222yxyx4．椭圆mx2+ny2=－mn(mn0)的焦点坐标是（学生分组比赛，每组抽2位同学的作业用幻灯演示，教师订正。(六)知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）1.椭圆的定义（注意定义中的三个条件）2.椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）3.解析几何的基本思想(七)布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做，其余学生不做探究题）1.课本习题p36练习第1、2、3题2.课后探究题：将推导椭圆方程过程中得到的方程a2－cx=a22)(ycx变形为acxcaycx222)(后观察式子的几何意义，提出合理猜想。点评:从“神舟7号”围绕地球运行轨迹入题，层层提问，师生互动，重视对学生思维过程的引导和启发，问题设置循序渐进，顺其自然，教学过程体现先行组织者的作用。讲练结合，注重过程性的教学评价，教学过程能激发学生的学习积极性，能调动学生突破教学重难点。五、课后反思本节课围绕“层层设问自主探索发现规律归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行优化组合，在教学过程中，学生通过观看图片，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力.同时在进行推导椭圆的标准方5程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.在整节课中，教师作为引导者，利用“神舟7号”围绕地球运行轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，同时设置了不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程.增强了学生的自信心，基本体现了新课标中让学生自主学习的教学理念.6附1：教学过程流程图附2：课件结构图附件3：教学评价内容设计1、评价内容：课堂表现评价、学习效果评价2.评价方式：课堂表现评价采用教师依据学生学习态度、积极参与、认真听课、完成课堂练习等进行定性评价，分优秀、良好、合格、有待提高四个等级，比例为2：3：4：1学习效果评价采用课堂学习效果评价+作业方式评价，内容有画图（定性）课堂练习、课后作业（定量，根据完成情况及正确程度评分，满分10分）课后探究（定性）等点评：本环节是对本课进行一个总结回顾，从而让学生对所学的知识技能有一个归纳总结自主探究，形成概念创设情景，提出课题师生互动，导出方程初步运用，强化理解自我评价，反馈调节知识整理，形成系统布置作业，巩固提高结束开始创建情景提出课题自主探究形成概念师生互动导出方程初步应用强化理解自我评价反馈调节知识整理形成系统布置作业巩固提高7附件4教学设计成果评价量表一级指标分值二级指标等级优良中一般概述5说明学科、年级、教材版本，学习的内容和本节课的价值及重要性53~420~1学习目标分析15从学生角度确定教学目标，目标阐述清楚、具体，可评价53~420~1结合新课程标准，知识、技能、过程和情感体验并重，重视学生多元智能和创造性思维的培养53~420~1处理好课标要求和拓展之间的关系53~420~1学习者特征分析10分析学习者起点能力，包括认知能力特征分析、认知结构分析、特定的知识和能力基础特征分析53~420~1分析学习者的学习态度、学习动机和学习风格53~420~1教学策略分析15有创新，符合学科特点、能激发学生的兴趣，符合学生的年龄特征53~420~1教学方法和策略可操作性强，便于实施53~420~1目的明确、阐述清晰53~420~1媒体的选择与设计5媒体容易获得，媒体选择与设计符合学习者特征和教学的要求53~420~1教学过程设计20教法上有创新，能激发学生的兴趣，符合学生的年龄特征，有利于学生的学习以及高级思维能力的培养53~420~1方案简单可实施，对教学环境和技术的要求不高，可复制性强53~420~1各个教学环节描述清晰，能反映教学策略以及师生的活动53~420~1格式规范53~420~1教学评价10注重形成性评价53~420~1有明确的评价标准，提供了评价工具53~420~1教学资源20资源符合学习者的特征、有利于主题的表达和目标的教学53~420~1资源内容丰富，并且正确、科学53~420~1表现形式合理，简洁明了、具有很强