椭圆的方程及其几何性质教案

教学课题椭圆及其标准方程教学目标知识与技能：1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；过程与方法：1.通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；2．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识教学重点椭圆的定义的理解及其标准方程记忆.教学难点椭圆标准方程的推导.教学过程一、情境设置，引入新课：思考问题：1.在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线．曲线和方程的关系是什么？（如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，同时以方程f(x，y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线．）2.圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？（①平面上到两个定点(距离为2d)距离的平方和等于定值a(a＞2d2)的点的轨迹是圆；②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆．）由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究．二、探索研究，进行新课：1．请学生观察计算机演示如图2-23，并思考．(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？（3）是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？观察后请学生回答．（4）当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化？从而得出结论：在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a＞|F1F2|．顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c(c＞0)表示．2．推导椭圆的标准方程．思考问题：（1）求曲线方程的步骤是什么？（2）求到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹．（求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性．）注：建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性．(让学生思考后回答)三、解题研究，应用新知：例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点53,22，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,abc．引导学生用其他方法来解．例2如图，在圆224xy上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？分析：点P在圆224xy上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程．例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为49，求点M的轨迹方程．分析：若设点,Mxy，则直线AM，BM的斜率就可以用含,xy的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是49，因此，可以求出,xy之间的关系式，即得到点M的轨迹方程．四.课堂练习作业：P40练习课时练习1.若椭圆13610022yx上一点P到一个焦点距离等于6，那么点P到另一个焦点距离是2.（1）a=4,b=1,焦点在x轴上的椭圆的标准方程是（2）a=4,c=15,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是.（3）a+b=10,c=52的椭圆的标准方程是.3.（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10，椭圆的标准方程是.（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2），（0，2），并且椭圆经过点，椭圆的标准方程是.教学反思通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发了学生学习数学的积极性，培养了学生的学习兴趣和创新意识，本节课教学效果较好。教学课题椭圆的简单几何性质教学目标知识与技能：通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；过程与方法：在合作、互动的教学氛围中，通过师生、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，领会每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。情感态度与价值观：在教学相长的教学活动情境中，培养学生运用数形结合思想解决实际问题的能力，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，。教学重点椭圆的简单几何性质及其探究过程。教学难点利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程教学过程一、知识回顾，引入新课：1．复习椭圆的定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹.2．复习椭圆的标准方程：12222byax，12222bxay（0ba）二、探索研究，进行新课：1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)xy满足不等式22221,1xyab，∴22xa，22yb，∴||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：1A2A2B2AOxy2F确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)Aa，2(,0)Aa是椭圆与x轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22RtOBF中，2||OBb，2||OFc，22||BFa，且2222222||||||OFBFOB，即222cac．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率.∵0ac，∴01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya．三、解题研究，应用新知：[来源:学_科_网]例1．求椭圆221625400xy的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．[来源:高考学习网解：把已知方程化为标准方程22221xyab，5a，4b，∴25163c，∴椭圆长轴和短轴长分别为210a和28b，离心率35cea，焦点坐标1(3,0)F，2(3,0)F，顶点1(5,0)A，2(5,0)A，1(0,4)B，2(0,4)B．例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点(3,0)P、(0,2)Q；（2）长轴长等于20，离心率等于35．B2B1A2A1xOy解：（1）由题意，3a，2b，又∵长轴在x轴上，所以，椭圆的标准方程为22194xy．（2）由已知220a，35cea，∴10a，6c，∴22210664b，所以，椭圆的标准方程为22110064xy或22110064yx．例3.如图，设,Mxy与定点4,0F的距离和它到直线l：254x的距离的比是常数45，求点M的轨迹方程．分析：若设点,Mxy，则224MFxy，它到直线l：254x的距离254dx，则容易得点M的轨迹方程．四.课堂练习课时练习1.椭圆13610022yx的焦点坐标是2.焦点在y轴上，c=3，e=56的椭圆的标准方程是3.长轴长等于20，离心率等于53的椭圆的标准方程是4.讨论椭圆16422yx的范围，画出图形.教学反思在合作、互动的教学氛围中，通过师生、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，使学生领会了每一个几何性质的内涵，并学会了运用它们解决一些简单问题，本节课教学效果较好。