椭圆的标准方程练习题

1椭圆的标准方程一、填空题1．方程x225－m＋y216＋m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．解析：因为焦点在y轴上，所以16＋m25－m，即m92，又因为b2＝25－m0，故m25，所以m的取值范围为92m25.答案：92m252．椭圆x2－m＋y2－n＝1(mn0)的焦点坐标是________．解析：因为mn0，所以－m－n0，故焦点在x轴上，所以c＝－m－－n＝n－m，故焦点坐标为(n－m，0)，(－n－m，0)．答案：(n－m，0)，(－n－m，0)3．已知椭圆的标准方程是x2a2＋y225＝1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．解析：因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441.答案：4414．过点(－3,2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．解析：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2a2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a2＋4a2－5＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y210＝1.答案：x215＋y210＝15．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．解析：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是y24＋x23＝1.答案：y24＋x23＝16．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，则椭圆的标准方程是________．解析：由椭圆定义知c＝1，∴b＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x225＋y224＝1.答案：x225＋y224＝17．若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________．解析：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)答案：x225＋y29＝1(y≠0)8．已知椭圆x216＋y29＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.解析：如图所示，连结PF2，由于Q是PF1的中点，所以OQ是△PF12的中位线，所以PF2＝2OQ＝2，根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1＝6.答案：69．设F1、F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为12PF1·PF2＝12×2×4＝4.答案：4二、解答题10．已知椭圆x2＋2y2＝a2(a0)的左焦点F1到直线y＝x－2的距离为22，求椭圆的标准方程．解：原方程可化为x2a2＋y2a22＝1(a0)，∴c＝a2－a22＝22a，即左焦点F1－22a，0.由已知得－22a－22＝22，解得a＝22或a＝－62(舍去)，即a2＝8.∴b2＝a2－c2＝8－4＝4.故所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.11．已知圆C：(x－3)2＋y2＝100及点A(－3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程．解：如图所示．∵l是线段PA的垂直平分线，∴AQ＝PQ.∴AQ＋CQ＝PQ＋CQ＝CP＝10，且106.∴点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a＝10，c＝3，即a＝5，b＝4.∴点Q的轨迹方程为x225＋y216＝1.212．已知F1、F2是椭圆x2100＋y264＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．(1)若∠F1PF2＝π3，求△F1PF2的面积；(2)求PF1·PF2的最大值．解：(1)设PF1＝m，PF2＝n(m0，n0)．根据椭圆的定义得m＋n＝20.在△F1PF2中，由余弦定理得PF21＋PF22－2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝F1F22，即m2＋n2－2mn·cosπ3＝122.∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝144，即mn＝2563.又∵S△F1PF2＝12PF1·PF2·sin∠F1PF2＝12mn·sinπ3，∴S△F1PF2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a＝10，∴根据椭圆的定义得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2PF1·PF2，∴PF1·PF2≤PF1＋PF222＝2022＝100，当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立．∴PF1·PF2的最大值是100.