椭圆的第二定义参数方程直线与椭圆的位置关系-高中数学

中小学教育资源交流中心提供椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系一.教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1.第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数ecaeM()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，xaybabFc22222100()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacFcxac2120()②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。2.焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xaybabPxy22210()()左焦半径∴·左左rxaccarexcaacaex02020右焦半径右右racxcaraex2003.椭圆参数方程中小学教育资源交流中心提供问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（ab0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy()Ox参数。那么∴xONOAyNMOBxayb||cos||sincossin()1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”说明：1对上述方程（1）消参即xaybxaybcossin22221普通方程2由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。4.补充名称方程参数几何意义直线xxtyytt00cossin()为参数Pxy000()，定点，倾斜角,tPP0，P（x，y）动点圆xarybrcossin()为参数A（a，b）圆心，r半径，P（x，y）动点，旋转角椭圆xaybcossin()为参数a长半轴长，b短半轴长离心角不是与的夹角()OMOx一般地，、取，[]02中小学教育资源交流中心直线与椭圆位置关系：（1）相离xaybykxb22221①相离无解xaybykxb22221②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）③关于直线的对称椭圆。（2）相切①相切有一解xaybykxb22221②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为Pxyxxayyb00002021()()312222相交有两解xaybykxb中小学教育资源交流中心提供①弦长公式：||()()ABxxyy12212214212212kxxxx()1212kxx||12ka·||【典型例题】例1.已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当AFxyM()231612122|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M的坐标。分析：结合图形，用椭圆的第二定义可得|||||||||'|MAMFMAMPAA2这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。解：设直线是椭圆的右准线，⊥，垂足为，则，lMPlPMFMPeMPe||||||1||||||MFabceMPeMF，由已知方程得，，∴，，由此得42321212||MF，从而得中小学教育资源交流中心提供|||||||||'|MAMFMAMPAAMAPMAP2，即当点、、三点共线且是内分点时，等号成立，此时取得最小值，点的坐标为，||||()MAMFM2233例2.椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当∠为钝角xyFFPFPF221212941时，点P横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题）分析：可先求∠F1PF2＝90°时，P点的横坐标。解：法一在椭圆中，，，，依焦半径公式知，abcPFx3253531||||||||||PFxFPFPFPFFF2121222122353，由余弦定理知∠为钝角()()()353353259535352222xxxx，应填法二设，，则当∠°时，点的轨迹方程为，PxyFPFPxy()1222905由此可得点的横坐标±，点在轴上时，∠；点在轴上PxPxFPFPy35012时，∠为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是FPFPx123535小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。例3.过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条xyMM22164121()弦所在的直线方程。分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得ykx12()()()()4124211602222kxkkxk，又设直线与椭圆的交点为中小学教育资源交流中心()()()11221212228241，、，，则、是方程的两个根，于是，又为的中点，∴，解之得，故所求直线方MABxxkkkk122224241212()程为xy240法二设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，AxyBxyMAB()()()112221∴，，又、两点在椭圆上，则，xxyyABxyxy121212122222424164164012221222，两式相减得()()xxyy∴yyxxxxyy12121212412()即，故所求直线为kxyAB12240法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1），则另一个交点为，Bxy()42∵、两点在椭圆上，∴有①，②ABxyxy222241644216()()①②得：xy240由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为ABxy240法四直线方程为xtyt21cossin代入椭圆得：(cos)(sin)24116022tt∴444841602222ttttcoscossinsin∴(sincos)(sincos)48480222tt∵，∴tt122208440sincossincos∴820sincos中小学教育资源交流中心提供∴，8212sincostan即，故所求直线为kxyAB12240例4.已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：xyPPlxy228840的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一设，由参数方程得P(cossin)()22则d|cossin||sin()|2242342其中，当时，tanmin2221222d此时，cossinsincos22313即点坐标为，PP()8313法二因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，llllll'''即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l设：，则由消得lxymxymxyx'0088229280449802222ymymmm，令×()解之得±，为最大，由图得mm333()中小学教育资源交流中心提供此时，，由平行线间距离得Pl()min831322例5.已知椭圆：，，是椭圆上一点ExyPxy2225161()()122求的最大值xy（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出y2代入x2+y2，转化为xxyxy的二次函数求解。法二：用椭圆的参数方程，将、代入，转化为三角22问题求解。法三：令，则利用圆与椭圆有公共点这一条件求的最xyrr2222值，解题时可结合图形思考。得最大值为25，最小值为16。题（2）可将四边形ABCD的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC是定线段，故长度已定，则当点B、点D到AC所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时四边形的面积最大。求得ABCD202解：()()125161161252222法一由得，xyyx则，xyxxx2222216125169251625()[]∴的最大值为，最小值为xy222516法二：令，xy54cossin则，xy2222225161691625cossincos[]法三令，则数形结合得，xyrr22221625[]（2）由题意得A（5，0），C（0，4），则直线AC方程为：4x＋5y－20054，又设，，则点到直线的距离BBAC(cossin)中小学教育资源交流中心|cossin||sin()|同理点到直线的距离DACd22022041∴四边形的最大面积SACdd||()12202例6.已知椭圆，是椭圆上两点，线段的垂直平xaybabABAB222210()分线与x轴相交于点P（x0，0）。求证：abaxaba22022（1992年全国高考题）分析：本题证明的总体思路是：用、两点的坐标、及、来表示，ABxxabx120利用证明2212axxa证明：法一设，、，，由题意知≠且，，AxyBxyxxPx()()()11221200由得①||||()()PAPBxxyxxy1021221222又、两点在椭圆上，∴，ABybxaybxa12212222222211()()代入①整理得，22102212222()()xxxxxaba∵≠，∴有·xxxxxaba120122222又，，且≠axaaxaxx1212∴2212axxa中小学教育资源交流中心提供由此得abaxaba22022法二令，则以为圆心，||PArPrxxyr为半径的圆的方程为①()0222圆与椭圆②交于、两点PxaybabAB222210()由①、②消去整理得yabaxxxxrb22220022220由韦达定理得，xxaxabaa122022222()∴abaxaba22022法三设，、，，的中点为、AxyBxyABMmn()()()1122∴，xxmyyn121222又、两点在椭圆上，ABxaybxayb12212222222211则两式相减得()()()()xxxxayyyyb12122121220将及，代入整理得：yyxxmxnxxmyyn12120121222xabamxxaba0222122222·，下略这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。中小学教育资源交流中心设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴，离心率，已知点，xeP3