概率与统计在经济管理学问题中的应用

概率与统计在经济管理学问题中的应用摘要：本文将通过一些具体的例子来讨论概率统计在博彩、经济保险、管理估算决策、最大经济利润求解等几个实际问题中的应用，并为这些实际问题作出概率与统计相关原理的说明。希望通过此次研究，可以提高大家在解决经济问题时的概率统计思想，并将概率统计的原理更多、更好的应用于实际生活中。关键字：概率统计的古典概型、博彩、经济保险、管理估算决策、最大经济利润求解Summary：thisarticlebycitingspecificexamplesofstatisticalprobabilitytothediscussioninthebettingandeconomicdecision-makingandmanagementofinsurance,thelargesteconomicprofitsinthequestforafewproblemsintheuseandforthepracticalproblemsassociatedwiththeprincipleofaprobabilitystatement.Ihopethatthroughthisstudycanhelpyousolvetheeconomicproblems,theprobabilityofstatisticsandstatisticalprobabilityoftheprincipleofthemoreandbetterapplicationinreallife.Keyword：statisticalprobabilityofall,gamblingandeconomicdecision-makingandmanagementofinsurance,thebestsolutionoftheeconomicprofits1一、引言概率统计是一门相当有趣的数学分支学科。随着科学技术的发展和计算机的普及,它最近几十年来在自然科学和社会科学中得到了比较广泛的应用,在社会生产和生活中起着非常重要的作用。实践证明,概率统计已经成为了研究人们生活实际问题进行量的研究的有效工具,尤其是为经济管理的预测和决策提供了新的手段，几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用,例如:实验设计、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。本文通过一些具体的例子讨论概率统计在博彩、经济保险、管理估算决策、最大经济利润求解等几个经济学问题中的应用。二、实例分析（一）古典概型在福利彩票中的应用1.数学原理：概率与统计学起源于古代赌博游戏，在概率统计中古典概型常常被应用于估计推断博彩的中奖可能性。古典概型的计算原理是：事件空间是由m个基本事件总数组成，且这些基本事件具有同样性质时，事件A中所含的基本事件数(有利事件数)为a个，以P(A)表示事件A的概率，计算公式是：P(A)=a/m用P(B)表示事件B的概率，若P(A)P(B),则事件A发生的可能性较B的更大些。2.举例并解答：例某一福利彩票，从01—37号码中任意选择7个不同的号码作为一注进行投注，2元买一注，每一注填写一张彩票，每张彩票由6个数字号码和一个特别数字号码组成，每个数字均可填写所选数字中的一个，与当期开奖开出的6个基本号码中的某些或另加特别数字号码相同(“号码相同”指“无须排序、不重复”)，即中不同等级的奖。每期设六个奖项。当期每注投注号码只有一次中奖机会，投注者开出奖号一一6个数字号码，另加一个特别数字号码，中奖号码规定如下：彩票上填写的6个数与开出的6个数完全相同，而且特别号码也相同——一等奖；6个数完全相同一一二等奖；有5个数字相同，而且特别号码也相同一一三等奖；有5个数字相同——四等奖；有4个数字相同，而且特别号码也相同一一五等奖；有4个数字相同，或者有3个数字相同，而且特别号码也相同一一六等奖。每一期彩票奖金：三、四、五、六等奖的奖金固定，一、二等奖的奖金浮动。例如，如果基本号码是“★★★★★★”，特别号为“”，那么各等奖项的中2奖号码和每注奖金，如下表1所列奖级中奖条件奖金分配基本号码特别号码一等奖当期高等奖奖金的80oo与奖池中积累的奖金之和二等奖当期高等奖奖金的20oo三等奖单注奖金额固定为2000元四等奖单注奖金额固定为300元五等奖单注奖金额固定为100元六等奖单注奖金额固定为10元表1为各等奖项的中奖号码数和相应的每注奖金表其中一、二等奖为高奖等，三至六等奖为低奖等，高奖等采用浮动设奖，低奖等采用固定设奖，当期总奖金减去当期低奖等奖金为当期高奖等奖金，单注彩票奖金封顶的最高限额为500万元。分析中奖概率：（以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率）基本事件总数(无顺序、无重复数、基本号码由6个数组成，特别号码只有一个数)共有两种情况，其中一种，有特别号码：在37个数中任取6个数作为基本号码，再在剩余的37-6=31个数中任选出1个数作为特别号码有m=613731CC=72068304种可能。另一种情况，无特别号码：在37个数中任取6个数作为基本号码有1m=637C=2324784种可能。一等奖中奖概率1P=1a/m=77C/613731CC=1/72068304=0.000000013=1.3×810;二等奖中奖概率2P=2a/1m=66C/637C=1/2324784=0.00000043=4.3×-710;3三等奖（有特别号码）中奖率3P=3a/m=5116130CCC/613731CC=180/72068304=0.000000249=2.49×610;四等奖（无特别号码）中奖概率4P=4a/1m=51631CC/637C=186/2324784=0.00007998=7.998×510;五等奖（有特别号码）5P=5a/m=4126130CCC/613731CC=6525/72068304=0.000090539=9.054×510;六等奖有两种情况：当无特别号码时的概率6P=6a/1m=43631CC/637C=6975/2324784=0.0030=3.0×310;当有特别号码时的概率'6P='6a/m=3136130CCC/613731CC=81200/72068304=0.001127=1.127×310;∴合起来，每一注总得中奖率为：P=1P+2P+3P+4P+5P+6P=0.00317或者P=1P+2P+3P+4P+5P+'6P=0.001303.析小结：通过对本例的研究，我们可以了解到：每1000注彩票，约有1至3注中奖(包括高等奖到低等奖)，而中一等奖是七千万分之一，中二等奖是两百万分之一。由此可见，通过博彩来赚钱并不合算，彩中大奖的可能性是很小的，从纯数学的角度讲，概率低于1／1000就可以忽略不计。实际上，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，也不应把它当成纯粹的赌博行为。只能将其作为一种娱乐，也可以此为公益事业作贡献、献爱心，达到“扶老、助残、救孤、济困”的目的，从而使我们在购买彩票的活动中更具有理性。（二）大数法则和中心极限定理在保险行业中的应用1.数学原理：（1）大数法则是概率论中的一个重要法则.它揭示了这样一个规律:大量的、在一定条件下重复出现的随机现象将出现一定的规律性和稳定性.如果我们对某种随机事件进行试验,当试验次数较少时,实验结果往往很不稳定,其结果依赖于个别随机事件;当试验次数较多时,实验的结果就非常稳定,而且试验结果会脱离对个别随机事件的依赖.例如将一枚均匀的硬币投向空中,正面朝上的概率为0.5.如果只扔10次硬币,可能看到有8次是正面朝上的,但如果硬币被扔成千上万次,得到正面朝上的频率越接近0.5.因此,当投掷次数越多,实际结果越接近期望结果.简而言之，大数定理就4是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率，这一点对保险的经营有重要意义.（2）中心极限定理指出：在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的1。即中心极限定理是指含有n个风险单位的随机样本，其平均损失符合正态分布。所以当我们求连续的随机变量落在某个区间上的概率时，只要把它标准化用正态分布作近似计算即可。所以大数定律是近代保险业赖以建立的基础。中心极限定理对保险业具有指导性的意义，一个保险公司的亏盈及是否破产，可以应大数定理和中心极限定理可以做到估算和预测，下面例题阐述了大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用和具体应用。2.举例并解答：例：在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问:1)保险公司亏本的概率有多大?2)保险公司一年的利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多大?解：1）设ζ表示一年内参保人的死亡数，则ζ～B（10000,0.06）。已知ζ和保险公司盈利近似服从正态分布：（补充说明：ζ～B（n,p）,n50时，可以用中心极限定理计算p(a≤ζ≤b)的近似值）要使保险公司亏本，必须满足12×10000-1000ζ0∴ζ120∵本题中E(ζ)=np,D(ζ)=npq，化为标准正态分布：Ф（x-np/npq）∴P（ζ120)=1-p(0≤ζ≤120)≈1-[Ф(120-10000×0.006/994.006.010000)-1引自荆涛．人寿与健康保险[M]．北京：北京大学出版社，2011．5Ф(0-10000×0.006/994.006.010000)]=1-[2Ф(7.722)-1]=2-2=0∴即公司会亏本的概率为0。2）当保险公司一年的利润不少于40000、60000、80000元时，必须满足：12×10000-1000ζ≥40000（或60000或80000）∴ζ≤80（或60或40）p(0≤ζ≤80)≈Ф(80-10000×0.006/994.006.010000)-Ф(0-10000×0.006/994.006.010000)=Ф(2.59)+Ф(7.77)-1≈0.9951p(0≤ζ≤60)≈Ф(60-10000×0.006/994.006.010000)-Ф(0-10000×0.006/994.006.010000)=Ф(0)+Ф(7.77)-1≈0.5p(0≤ζ≤40)≈Ф(40-10000×0.006/994.006.010000)-Ф(0-10000×0.006/994.006.010000)=Ф(-2.59)-Ф(-7.77)=Ф(7.77)-Ф(2.59)≈0.0048∴即保险公司一年的利润不少于40000元、60000元、80000元的概率分别为0.9951,0.5,0.0048。3.分析小结在以上事例中，求保险公司是否盈利得，经过概率统计的知识一计算可以得知公司是几乎必定盈利的，其亏本的概率几乎为0，其一年获利40000元的概率也要有0.9951。这也是为什么保险公司那样乐于开展保险业务的原因.另外，我们可以很据概率统计的知识算出在既定利润条件下，其相应的概率是多少。当然以上结果都以有足够多的人投保为前提的，因为根据大数法则表明：投保人越多即承保的风险单位越多,实际利润或损失与预期的利润或损失概率的偏差就越小；承保的风险单位越少,实际利润或损失与预期利润或损失概率的偏差就越大.而实际损失与预期损失概率的偏差又影响到保险公司的服务稳定和经营效益.因此,保险公司在根据大量的损失统计资料精算出预期损失概率并制定出合理的保险费的基础上应尽可能地多增加投保人，也就越可能有足够的资金赔付保险期内发生的所有索赔,从而使保险公司运营更加平稳。6（三）期望和方差数字特征在管理估算决策中的应用1.数学原理离散型数学期望是指随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(=xi)之积的和称为的数学期望（设级数绝对收敛），记为E。如果随机变量只取得有限个值