概率及其数理统计练习题

1第一章随机事件及其概率练习题一、填空题1.在n阶行列式det()ijnna的展开式中任取一项，若此项不含元素11a的概率为20082009，则此行列式的阶数n。2.设,AB是任意两个随机事件，则{()()()()}PABABABAB。3.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为。4.事件,AB相互独立，7()()1,()9PAPBaPAB，则a。5.有一根长l的木棒，任意折成三段，恰好能构成一个三角形的概率为。二、选择题6.若二事件,AB同时出现的概率()0PAB，则（）。（A）A和B不相容（B）AB是不可能事件（C）AB未必是不可能事件（D）()0PA或()0PB7.袋中装有5个球，其中白球2个，黄球3个，甲、乙两人依次从袋中各取一球，记A“甲取到白球”，B“乙取到白球”。若取出后又放回，此时记1()pPA，2()pPB；若取出后不放回，此时记3()pPA，4()pPB，那么下面正确的是（）。（A）1234pppp（B）1234pppp（C）1234pppp（D）1234pppp8.已知()0PB，12AA，则下列各式不正确的是（）。（A）1212()()()PAABPABPAB（B）12()0PAAB（C）12()1PAAB（D）12()1PAAB9.对于任意二事件A和B，下列论断正确的是（）。（A）若AB，则,AB一定独立（B）若AB，则,AB可能独立（C）若AB，则,AB一定独立（D）若AB，则,AB一定不独立10.某人向一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)pp，则此人第42次射击恰好第2次命中目标的概率为（）。（A）23(1)pp（B）26(1)pp（C）223(1)pp（D）226(1)pp三、解答题11.设(),(),()PApPBqPABr，请计算下列各事件的概率：(),(),PABPAB(),()PABPAB。12.n个人排成一队，已知甲总排在乙的前面，求乙恰好紧排在甲后面的概率。13.有外形相同的n把锁和n把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，现将锁和钥匙随机配对，每对锁和钥匙各一把，试求至少有一把锁能被锁配对钥匙打开的概率。14.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（事件1A），损坏10%（事件2A），损坏90%（事件3A），且知1()0.8PA，2()0.15PA，3()0.05PA，现从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的（事件B），试求122(),(),()PABPABPAB（这里物品件数很多，取出一件后不影响后一件是否是好品的概率）。15.在一个罐子中装有5个球，其颜色有黑色和白色两种，从罐子中取4次球，每取一个，取出后均放回到罐子中，1次出现了白球，3次出现了黑球，如在试验前每个球是白色或黑色是等可能的，求在罐子中对白球数的各假设的概率。3参考答案一、填空题1.2009解：考虑含元素1a的概率可得：(1)!20081!2009nn，故2009n。2.解：注意到()()()(),ABABAABBABABAB()()()(),ABABAABBABABAB那么()()()()()()ABABABABABABABAB则{()()()()}()0PABABABABP。3.23解：设iA“取到i等品”，1,2,3i，则根据题意知，123()0.6,()0.3,()0.1PAPAPA，由条件概率公式易知，1311333()()0.62()1()0.93()PAAPAPAAPAPA。4.43或53思路：由已知条件构造关于a的一元二次方程，解此方程即可。解：7()()()()()()()()()9PABPAPBPABPBPABPBPAPB222(1)33aaaa即220309aa，解之得43a或53。5.1()4PA解：设折得的三段长度为,xy和lxy，那么，样本空间{(,)0,0,0}xyxlylxyl，而随机事件A：“三段构成三角形”相应的子区域G应满足“两边之和大于第三边”的原则，从而()()lxyxyxlxyyylxyx4即{(,)0,0,}222lllGxyxxxyl，从图1中可以得到相应的集合概率：1()4PA。二、选择题6.解：概率为零的事件未必是不可能事件。当考虑古典概型时，由于样本空间包含样本点数有限，故概率为零的事件是不可能事件；但对于几何概型，其样本空间可含有无穷多个样本点，则其中的每个样本点所对应基本事件均可能发生，但概率为零。故（C）正确。选项（A）、（B）给出的均为题设的充分不必要条件，选项（D）当A、B是两个相互独立的事件时成立。7.解：对于第一种情形：有放回的取球，显然有1225pp。对于第二种情形：无放回的取球，不难得325p，而4()()()()()()()()2132254545pPBPABABPABPABPAPBAPAPBA综合以上两种情况得到：123425pppp。这是一个典型的“抽签”问题，也可以根据“抽签结果与抽签的方式（放回还是不放回）以及抽签的先后顺序无关”这一特征来快速的做出选择。8.解：由12AA可得12120()()0PAABPAA，故12()0PAAB。故1212121212[()]()()()()()()PAABPABABPABPABPAABPABPAB故1212()()()PAABPABPAB；1212()()0()PAABPAABPB；121212()()1()1PAABPAABPAAB。故（C）所给式子不正确，所以选（C）。9.（B）提示：用事件相互独立的定义排除（A）、（C）、（D）。10.解：所求事件A即为“前3次命中目标1次，第4次也命中目标”。故由贝努里概型及条件概率可知123()(1)PACppp。故应选（C）。yx2l2lllGO图15三、解答题11、解：()()1()1PABPABPABr()()()()PABPBABPBPABqr()()()()1()1PABPAPBPABpqqrrp()()1()1()()()1PABPABPABPAPBPABrpq12、解：设{},{}AB甲总排在乙的前面乙紧跟在甲的后面所求概率为()PBA。在无条件的排队中，甲乙的地位等同，所以甲排在乙前面及乙排在甲前面这两个时间的概率相同，均为12，因此1()2PA。此随机试验样本空间总共有!n个基本事件，而AB中含有的基本事件总数为(1)!n，所以(1)!1()!nPABnn则1()2()1()2PABnPBAPAn13、解：设{}(0,1,2)iAiin第把锁能被打开，则至少有一把锁能被打开可以表示成1niiA，所以由n个时间和的概率公式有：1121111()()()()(1)()nnniiijijkniijnijkniPAPAPAAPAAAPAAA1231(1)!(2)!(3)!1(1)!!!!nnnnnnnnnCCCCnnnn11111(1)2!3!!nn14、解：333123()(0.98),()(0.90),()(0.1)PBAPBAPBA而123,,AAA构成完备事件组123(A)=0.8,(A)=0.15,(A)=0.05PPP33331()()()0.980.80.900.150.10.050.8624iiiPBPBAPA11131()()()0.8731()()iiiPBAPAPABPBAPA622231()()()0.1268()()iiiPBAPAPABPBAPA312()1()()0.0001PABPABPAB15、解：令{},0,1,2,3,4,5iAii罐子中有个白球{413}B取次球，次出现白球，次出现黑球由古典概型可知0514235551510(A)=(A)=,(A)=(A)=,(A)=(A)=222PPPPPP由贝努里公式可得1313014241423()0,()()(),()()(),5555PBAPBACPBAC1313344453241()()(),()()(),()05555PBACPBACPBA为计算贝叶斯公式，先计算()PB50()()()iiiPBPAPBA131313134444514102310325410()()()()()()()()03255325532553255CCCC0.224所以012()0,()0.286,()0.482PABPABPAB345()0.214,()0.018,()0PABPABPAB