概率的计算(第二十章)

静第八讲概率的计算（第二十章）1、用古典概率、几何概率计算概率2、用基本性质计算概率3、利用条件概率、乘法公式计算概率4、利用事件的独立性计算概率5、利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率6、利用二项概率公式计算概率1、用古典概率计算概率一、用古典概率、几何概率计算概率古典概型具有两个特性：(1)试验的可能结果(即基本事件)的个数有限，且两两互不相容；＝{1,2,...n}(有限性)(2)每个基本事件发生的可能性相等；nPPn1}{...}{1(等可能性)这时若事件A含有k个基本事件，则基本事件总数所包含的基本事件数AnkAP)(为此，经常用到如下排列组合知识：(1)n个不同元素全部取来进行排列，全部排列的种数为：Pn＝n!(2)n个不同元素,每次从中任取r个不同元素来进行排列，所有不同排列的种数为：!(1)(1)()!rnnPnnnrnr(3)n个不同元素,每次从中任取何r个不同元素来进行组合，所有不同组合的种数为：!(1)(1)!()!!rnnnnnrCrnrr(4)n个不同元素,每次允许重复地从中任取何r个元素进行排列，所有不同排列的种数为：.rn例1.设有一批产品共100件，其中5件次品，现从中任取3件，求(1)全是正品的概率；(2)恰有2件次品的概率.解：(1)设A={任取3件全是正品},3100Cn3100395)(CCAP,395Ck95!(3!92!)100!(3!97!)98991009394958560.0(2)设B={任取3件恰有2件次品},3100Cn195Ck25C1617009500059.0310025195)(CCCBP例2.一个盒中装有编号为1，2，…,10的球各一个，外形完全一样。随机从盒中摸球，每摸一个球，记下编号后放入盒中，共摸六次，求所记下的编号中最大号码恰为6的概率.解1：设A={6次摸出的编号球最大号码恰为6}610,n6166516()()10iiiCCPA616651(),iiikCC1152143134125116106565656565656()()()()()()10CCCCCCCCCCCC543266515520555651100.031解2：设A={6次摸出的编号球最大号码恰为6}610,n6665k0.03166665()10PA2、用几何概率计算概率几何概型具有两个特性：(1)试验的可能结果(即基本事件)的个数无限，且全体结果可用一个有度量的几何区域G来表示；(无限性)(2)每个基本事件发生的可能性相等；(等可能性)这时若事件A所对应的区域为g，则()PAg的度量G的度量yOx324242例3.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。甲船的停泊时间是2小时，乙船的停泊时间是3小时，两船启航后都不再返回该码头，求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x与y,则由题意024,024xy即样本空间为以24为边长的正方形2-3,yxxy或222112221220.80324()PA阴影部分面积正方形面积设A表示它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出，则即图中阴影部分。于是，所求概率为：概率的基本性质二、用基本性质计算概率性质1.(有限可加性)设有限个事件A1,A2,...,An满足AiAj=(ij,i,j=1,2,…n),则11()()nniiiiPAPA性质2.对任一事件A有()1()PAPA性质3.（加法公式）设A、B为任意两个事件，则P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)设A、B、C为任意三个事件，则P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC)性质4.设A、B为任意两个事件，且AB，则P(B-A)=P(B)–P(A)例4.设P(A)=1/3，P(B)=1/2，若（1）AB=；（2）AB；（3）P(AB)=1/8，求解：（1）因为AB=，所以().PBA,BABAB1()();2PBAPB故例5.设A、B、C为随机事件,已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/16，则事件A、B、C全不发生的概率为多少？解：“事件A、B、C全不发生”记为,ABC()()1()PABCPABCPABC1[()()()()()()()PAPBPCPABPACPBCPABC3231[]4168（2）因为AB，所以111()()()();236PBAPBAPBPA113(3)()()().288PBAPBPAB三、利用条件概率、乘法公式计算概率1、条件概率条件概率与积事件概率的区别：一般地说，当事件A、B同时发生时，常用P(AB)；而在有包含关系或明确的主从关系中，用P(B|A)。)()()|(APABPABP2、乘法公式)0)(()|()()(APABPAPABP或)0)(()|()()(BPBAPBPABP例6.一盒中有10只晶体管，其中7只正品，3只次品，分别用不放回依次抽取和有放回依次抽取两次的方法来测试，求抽取的两件中都是正品的概率.解：记A={第一次抽得正品},B={第二次抽得正品}(1)不放回抽取：96)|(,107)(ABPAP故4667.096107)|()()(ABPAPABP(2)有放回抽取：107)|(,107)(ABPAP故4900.0107107)|()()(ABPAPABP例7.设A、B为随机事件,已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，解:(1)方法1(|)0.4,PBA求(1)()(2)(|)(3)(|).PABPABPAB因为P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)且()()PABPBAB()()PBPAB()()(|)0.60.50.40.4PBPAPBA所以()0.50.60.40.7PAB方法2因为()1()1(),PABPABPAB()()(|)()[1(|)]0.50.60.3PABPAPBAPAPBA所以()10.30.7PAB且()0.42(2)(|)0.67()0.63PABPABPB(3)(|)1(|)PABPAB()()(|)0.50.63(|)()()0.44PABPAPBAPABPBPB且所以3(|)10.254PAB四、利用事件的独立性计算概率1、定义P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)则称A,B,C两两独立；进一步若还有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C相互独立.若事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A,B相互独立若事件A，B，C满足2、性质BABABA与及与与,也相互独立.若A与B相互独立，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)若A与B相互独立，则例8.甲、乙两高射炮同向一架敌机射击，已知甲炮命中率为0.6，乙炮命中率为0.5，求敌机被击中的概率.解1：记A={甲炮击中敌机}，B={乙炮击中敌机}C={敌机被击中}则C=AB由加法公式P(C)=P(A)+P(B)–P(AB)又因为A与B独立，所以P(AB)=P(A)P(B)P(C)=P(A)+P(B)–P(A)P(B)=0.6+0.50.60.5=0.8于是解2.两两互不相容，与，且BABAABBABAABC,独立，则与，与，与又BABABA)()()()()()()(BPAPBPAPBPAPCP=0.60.5+0.60.5+0.40.5=0.8解3.先求),(CP)()()()()(BPAPBAPBAPCP有8.0)5.01)(6.01(1)(1)(CPCP－四、利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率1、全概率公式设必然事件分解成若干个互斥事件的和,12...,(),nijAAAAAij即则对任一事件B，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)2、贝叶斯公式设事件B和一组事件A1，A2，…，An满足全概率公式中的条件,则有以下贝叶斯公式：1()(|)(|),(1,2,...,)()(|)iiinjjjPAPBAPABinPAPBA例9.某厂有四台机器生产同一产品，产量各占50％，30％，10％，10％，各台机器生产的次品率分别为2％，4％，1％，2％.求：(1)从全厂的产品中任取一件，恰为次品的概率.(2)从全厂的产品中任取一件，发现是次品，问此次品出自哪一台机器?解：分别以A1，A2，A3，A4表示取得的产品为第一台，第二台，第三台，第四台机器生产的.B表示取得的产品恰为次品.显然A1A2A3A4=,且Ai互斥.(1)要求P(B).由全概率公式，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)由题意有P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.1,P(A4)=0.1P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.01,P(B|A4)=0.02所以，有P(B)=0.50.02+0.30.04+0.10.01+0.10.02=0.025注意：P(B)不是各台机器的次品率相加.(2)要求B发生的条件下，出自哪一台机器的可能性大.为此要计算的是下面四个条件概率P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),P(A4|B)由贝叶斯公式：11()(|)()PABPABPB1141()(|)0.50.020.040.025()(|)iiiPAPBAPAPBA类似地可计算出,48.0)|(2BAP,04.0)|(3BAP08.0)|(4BAP从计算的结果看出，可能性最大的不是A1，而是A2，自然要倾向于认为是第二台机器生产的。例10.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次使用时，从中任取3个，用后仍放回盒中，第二次使用时，再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。解：以Ai(i=0,1,2,3)表示第一次使用了i个新球，B表示第二次取出的3个球都是新球.显然A0A1A2A3=,且Ai互斥.由全概率公式，有由题意有393312()iiiCCPAC39312(|)(i=0,1,2,3)iiCPBAC30()()(|)iiiPBPAPBA33393933012120.146.iiiiCCCCC四、利用二项概率公式计算概率1、贝努里概型具有下列特点的试验：(1)每次试验条件都相同，(2)试验结果只有两个：A和A(3)每次试验的结果是相互独立，称为n重贝努里试验概型.2、二项概率公式在n重贝努里试验中，设每次试验中，事件A发生的概率为p(0p1)，则A恰好发生k次的概率为knkknnqpCkP)(),...,2,1,0(nk其中q=1–p.例11.某计算机设有8个终端，各终端的使用情况是相互独立的，且每个终端的使用率为40%.试求下列事件的概率:(1)A={恰有3个终端被使用}；(2)B={至少有一个终端被使用}；解：8个终端的被使用与否可视为8次独立的重复试验.于是由贝努里概型得：2787.0)6.0()4.0()3()(53388CPAP888()(1)(2)...(8)PBPPP)(1BP)0(18P8)6.0(19832.0