概率第6-7章(点估计)复习题解答

第1页共5页《概率论与数理统计》第六、七章（点估计）复习题解答1.设来自总体X的一个样本为)4,3,1,4,4,1,3,2,1,2(),,,(1021xxx,(1)求x,2s,2B;(2)求经验分布函数)(*10xF并作图;(3)求总体期望)(XE,方差2)(XD的矩估计值.解:来自总体X的一个样本为)4,3,1,4,4,1,3,2,1,2(),,,(1021xxx,故(1)3101101iixx,6.4)(9110122iixxs,2.4)(10110122iixxB.(2)样本的频数分布为样本值1234频数3223频率分布为样本值1234频率0.30.20.20.3经验分布函数及其图形为4,143,7.032,5.021,3.01,0)(*10xxxxxxF001234x(3))(1XE，XA1，令11A，即得3ˆX；22222)()()(XEXDXE，niiXnA1221，令22A，即niiXn12221，解得2.41ˆ122122122BXXnXnniinii.(若记得教材第179页例3的结论,也可以利用来直接求)(XE,2)(XD的矩估计值.)2.设21,XX是总体)2,1(~NX的样本，求概率)408.0)((221XXP.解:21,XX是总体)2,1(~NX的样本，故)2,1(~,21NXX,且相互独立.所以1y10.70.50.3第2页共5页)4,0(~21NXX.从而)1,0(~221NXX,)1(~)2(2221XX)408.0)((221XXP)102.0)2((221XXP)102.0)2((1221XXP1)102.0)2((221XXP,于是102.0)1(21,查表知102.0)1(275.0,.25.0,75.01即25.0)408.0)((221XXP(考虑一下:此题如果不用2分布,而利用标准正态分布函数表,该怎么求解?)3.设521,,,XXX是总体),0(~2NX的样本，证明:)1(~3254321tXXXXXY.证明:521,,,XXX是总体),0(~2NX的样本，故),0(~,,,2521NXXX,且相互独立.所以)1,0(~3,)3,0(~3212321NXXXNXXX(1))2,0(~254NXX.从而)1,0(~254NXX,)1(~)2(2254XX(2)且3321XXX与254)2(XX相互独立.(3)由(1)(2)(3)及t分布定义知)1(~1/)2(3254321tXXXXX,即)1(~3254321tXXXXXY.证毕.4.设随机变量),(~nmFF,(1)求)12,10(01.0F,)12,10(99.0F;(2)当10nm时,求常数c,使概率05.0)(cFP,并把c用上分位点记号表示出来;(3)当20,15nm时,求概率)84.1(FP.解:(1)查教材第452页附表得:30.4)12,10(01.0F,21.071.41)10,12(1)12,10(01.099.0FF;(2)查教材第449页附表得:98.2)10,10(05.0Fc(3)当20,15nm时,查教材第448页附表得:84.1)20,15(10.0F,10.0)84.1(FP.5.设总体)2,5(~2NX,(1)从中随机抽取容量为25的样本，求样本均值X落在4.2到5.8之间的概率;(2)样第3页共5页本容量n取多大时,可使95.0)8.5(XP?解:由题意及抽样分布定理知,故)4,5(~nNX,)1,0(~25NnX.(1)这里25n,从而)1,0(~525NX,于是908.01954.021)2(2)2()2()4.058.54.054.052.4()8.52.4(XPXP(2)要使)645.1(95.0)4.0()258.525()8.5(nnnXPXP,由分布函数的单调不降性知,只需645.14.0n,即只要91.16n,故取17n即可.6.设1021,,,XXX是总体)4,(~2NX的样本，2S是样本方差,且1.0)(2aSP,求常数a.解:由题意及抽样分布定理知)1(~)1(222nSn.这里4,10n,故)9(~16922S.于是1.0)169169()(22aSPaSP,从而684.14)9(16921.0a,1.26a7．设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布，即0,)(~EXPX，未知.现从中随机抽取5只进行测试，得到它们的寿命（单位：小时）如下：518612713388434.试求该厂晶体管平均寿命的最大似然估计值.解:晶体管寿命X的分布密度为0,00,1)(1xxexfx,参数0.似然函数nixeLinixi,,2,1,0,1)(11.,]1ln[)(ln1niixL令0)(1)(1]11[)(ln121212niiniiniixnxxLdd第4页共5页则533)434388713612518(511ˆ1niixn（小时）为所求最大似然估计值.8．设总体X的一个样本为),,,(21nXXX，X的分布密度为elsexxxf,00,2)(2,参数0，未知.(1)求的矩估计量;(2)求矩估计量的方差;(3)求的最大似然估计量.解:(1)322)()(021dxxxdxxxfXE，XA1，令11A，即X32得矩估计量X23ˆ；(2)nXDXDXDD)(49)(49)23()ˆ(,而202222212)()(dxxxdxxfxXE,18)32(21)()()(22222XEXEXD,于是nnD818149)ˆ(22.(3)似然函数nixxLinii,,2,1,0,2)(12.,]ln2ln2[ln)(ln1niixL,02]20[)(ln1nLddni)(lnL单调递减.故当取其最小可能值时,)(lnL有最大值,从而)(L有最大值.注意到nixi,,2,1,0.等价于,0}{max1inix如图θ0}{max1inixx于是知的最大似然估计值为}{maxˆ1inix,最大似然估计量为}{maxˆ1iniX.9.设总体X有期望)(XE,方差2)(XD,但均未知.nXXX,,,21是取自总体X的样本,niiXnX11,niiXXnB122)(1,niiXXnS122)(11.试验证:X是的无偏估计,2B是2的渐近无偏估计,而2S是2的无偏估计.第5页共5页证明:(1))()(1)(1)(11XEXEnXEnXEninii,故X是的无偏估计;(2)niiniiXXnXXnB1221221)(1,从而)()()()()()()()(1)()(1)(22222122122XEXDXEXDXEXEXEXEnXEXEnBEninii)(1222222nnnn当故2B是2的渐近无偏估计.(3)21221)(11BnnXXnSnii,222211)(1)(nnnnBEnnSE,故2S是2的无偏估计.证毕.10．设nXXX,,,21是总体X的一个子样，)(XE，2)(XD存在且未知，任意正的常数),,2,1(niai满足11niia.试证:(1)估计量niiiXa1总是的无偏估计；(2)在上述无偏估计中niiXnX11最有效，并写出此时的最小方差.证明:nXXX,,,21是总体X的一个子样，故nXXX,,,21相互独立,且与总体X有相同分布,于是)()(XEXEi，2)()(XDXDi.从而(1))()()()ˆ(111niininiiiiiaXEaXaEE,故估计量niiiXa1ˆ总是的无偏估计.(2)niininiiiiiaXDaXaDD122112)()()ˆ(,当且仅当naaa21时，niia12取得最小值，即),,2,1(1ninai时，)ˆ(D取得最小值，故在形如niiiXa1ˆ的无偏估计中，niiXnX11最有效.此时,最小方差为21)ˆ(nD.