概率统计期末试卷答案

2013年下学期概率统计模拟卷参考答案一、填空题：每空3分，共18分.请将各题号对应的正确答案填写在下列表格内.题号123456答案()ABC37031629121.设A,B,C是三个随机事件.事件：A不发生,B,C中至少有一个发生表示为(空1).2.口袋中有3个黑球、2个红球,从中任取一个,放回后再放入同颜色的球1个.设Bi={第i次取到黑球},i=1,2,3,4.则1234()PBBBB=(空2).解用乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321BBBBPBBBPBBPBPBBBBP.32arbararbrarbabrbb=3/703.在三次独立的重复试验中,每次试验成功的概率相同,已知至少成功一次的概率为1927.则每次试验成功的概率为(空3)..解设每次试验成功的概率为p,由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278.即278)1(3p,故p=31.4.设随机变量X,Y的相关系数为5.0,,0)()(YEXE22()()2EXEY,则2[()]EXY=(空4).解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]EXYEXEXYEYXYEXEY42()()420.526.XYDXDY5.设随机变量X的方差为2,用切比雪夫不等式估计{||}PXEX（）≥3=(空5).解由切比雪夫不等式,对于任意的正数,有2(){()}DXPXEX≥≤,所以2{||}9PXEX（）≥3≤.6.设总体X的均值为0,方差2存在但未知,又12,XX为来自总体X的样本,212()kXX为2的无偏估计.则常数k=(空6).解由于222121122[()][(2)]EkXXkEXXXX22211222[()2()()]2kEXEXXEXk,所以k=12为2的无偏估计.二、单项选择题：每小题2分，共18分.请将各题号对应的正确选项代号填写在下列表格内.题号123456789选项DBAACDDBC1.若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0,则下列结论正确的是().(A)A和B互不相容.(B)AB是不可能事件.(C)P(A)=0或P(B)=0..(D)以上答案都不对.解本题答案应选(D).2.在5件产品中,只有3件一等品和2件二等品.若从中任取2件,那么以0.7为概率的事件是()．(A)都不是一等品.(B)至多有1件一等品.(C)恰有1件一等品.(D)至少有1件一等品.解至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品,其中只含有一件一等品的概率为113225CCC,没有一等品的概率为023225CCC,将两者加起来即为0.7.答案为（B）.3.设事件A与B相互独立,且0P(B)1,则下列结论中错误的是().(A)A与B一定互斥.(B)()()()PABPAPB.(C)(|)()PABPA.(D)()()()()()PABPAPBPAPB.解因事件A与B独立,故AB与也相互独立,于是(B)是正确的.再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的.从而本题应选(C).4.设随机变量X服从正态分布211(,)N,Y服从正态分布222(,)N,且12{1}{1},PXPY则下列各式中正确的是().(A)σ1σ2.(B)σ1σ2.(C)μ1μ2.(D)μ1μ2.解对μ1＝μ2时,答案是(A).5.设~01,XN令2YX,则~Y().(A)(2,3)N.(B)(0,1)N.(C)(2,1)N.(D)(2,1)N.解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).6.设X与Y相互独立，且都服从2(,)N,则下列各式中正确的是().(A)()()()EXYEXEY.(B)()2EXY.(C)()()()DXYDXDY.(D)2()2DXY.解注意到0)()()(YEXEYXE.由于X与Y相互独立,所以22)()()(YDXDYXD.选(D).7.设(X,Y)服从二元正态分布,则下列结论中错误的是().(A)(X,Y)的边缘分布仍然是正态分布.(B)X与Y相互独立等价于X与Y不相关.(C)(X,Y)的分布函数唯一确定边缘分布函数.(D)由(X,Y)的边缘概率密度可完全确定(X,Y)的概率密度.解仅仅由(X,Y)的边缘概率密度不能完全确定(X,Y)的概率密度.选(D)8.设z,2(n),()tn,12(,)Fnn分别是标准正态分布N(0,1)、2(n)分布、t分布和F分布的上分位点,在下列结论中错误的是().(A)1zz.(B)2(n)=1-21(n).(C)1()()tntn.(D)121211(,)(,)FnnFnn.解应选(B).9.设随机变量21~()(1),XtnnYX,则下列关系中正确的是().(A)2~()Yn.(B)2~(1)Yn.(C)~(,1)YFn.(D)~(1,)YFn解由题设知,UXVn,其中2~(0,1),~()UNVn.于是21YX=221UVVnnU,这里22~(1)U,根据F分布的定义知21~(,1).YFnX故应选(C).三、(10分)某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别占全厂总产量的40%,38%,22%,经检验知各车间的次品率分别为0.04,0.03,0.05.现从该种产品中任意抽取一件进行检查.(1)求这件产品是次品的概率;(2)已知抽得的产品是次品,问此产品来自乙车间的概率是多少？解设A表示“取到的产品是一件次品”,iB(i=1,2,3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙车间”.易知,123,,BBB是样本空间S的一个划分,且122()0.4,()0.38,()0.22PBPBPB，12(|)0.04,(|)0.03PABPAB,3(|)0.05PAB..4分(1)由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()PAPABPBPABPBPABPB0.40.040.380.030.220.050.0384.................4分(2)由贝叶斯公式可得222(|)()0.380.0319(|)()0.0384640.297PABPBPBAPA..............2分四、(10分)设随机变量X的概率密度为1(1),02,()40,xxfx其它,对X独立观察3次,求至少有2次的结果大于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{PaX≤}()()()dbabFbFafxx,可得2115{1}(1)d48PXxx.............................5分所以,3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256CC............................5分五、(12分)随机变量(X,Y)的概率密度为(,)1(6),02,24,80,.fxyxyxy其它求:(1){4}PXY≤；(2)关于X的边缘分布和关于Y的边缘分布；(3)X与Y是否独立？并说明理由.解(1){PXY≤4}4(,)ddxyfxyxy≤44201d(6)d8xyxyx4422011(6)d82xyxxy23............................4分(2)当02x时,421()(,)d(6)81d(3)4Xfxfxyyxyyx;当x≤0时或x≥2时,()0Xfx.故,02,()0,1(3)4Xxfxx其它.........................3分当2y4时,201()(,)d(6)81d(5)4Yfyfxyxxyyy;当y≤2时或y≥4时,()0Yfy.故(5),24,()0,.14Yyyfy其它.........................3分(3)因为(,)()()XYfxyfxfy,所以X与Y不相互独立............................2分六、(10分)设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一整数.该经销商店每销售一单位该种商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理一单位该种商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每一单位商品仅获利300元.为实现该商店所获利润期望值不小于9280元的目标,试确定该经销商店对该种商品的进货量范围.解设进货量为a单位,则经销商店所获利润为500300()300200,30,500100()600100,10.aaXaXaaXMXaXXaXa≤≤≤............4分需求量X的概率密度为()1,1030,200,.fxx其它...........................2分由此可得利润的期望值为30301010111()(600100)(300200)202020aaaaEMMdxxadxxadx..............2分21535052502aa依题意,有21535052502aa≥9280,即21535040302aa≤0,解得623≤a≤26.故期望利润不少于9280元的进货量范围为21单位~26单位.......................................2分七、(10分)设总体X的概率密度为(1),01,(;)0,xxfx其它.其中θ-1是未知参数,X1,X2,…,Xn是来自总体X的容量为n的简单随机样本.求:(1)的矩估计量；(2)θ的极大似然估计量.解总体X的数学期望为1101()()d(1)d2EXxfxxxx.令()EXX,即12X,得参数θ的矩估计量为21ˆ1XX.....................4分设x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的一组观测值,则似然函数为1(1),01,0,nniiixxL其它......................2分当0xi1(i=1,2,3,…,n)时,L0且niixnL1ln)1ln(ln,令1dlnlnd1niiLnx=0,得θ的极大似然估计值为1ˆ1lnniinx,而θ的极大似然估计量为1ˆ1lnniinX.............4分八、(12分)从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量,算得该样本平均值11958,样本标准差316s．设该试验物的发热量服从正态分布2(,)N，其中参数σ2未知.(1)求的置信水平为0.95的置信区间;(2)取显著性水平α=0.05,问是否可以认为该试验物发热量的期望值为12100?(3)问题(1)和(2)的前提与结论之间有什么关系?解(1)已知数据n=24,x=11958,s=316,α=0.05,可得/2(1)tn=t0.025(23)=2.0687.所求置信区间为/2/2()(1),(1)ssxxnntntn=(11824.59,12091.41)..........................4分(2)提出假设H0:μ=μ0=12100;H1:μ≠μ0.....................................2分对于α=1-0.95=0.05,选取检验统计量0XtSn,拒绝域为|t|/2