概率统计第七章

习题七解答1.设的分布律为，X-102112概率31616112141求（1）EX，（2）)1(XE，（3）)(2XE，（4）DX。解由随机变量X的分布律，得X-101212-X+121120-1X2101414P31616112141所以1111111(1)01236261243EX11111121210(1)36261243EX2111111351014364612424EX22235197()()(())()24372DXEXEX另外，也可根据数学期望的性质可得：1211133EXEX2.设随机变量X服从参数为0的泊松分布，且已知232XXE，求的值。解204526526565322222XEXEXDXEXEXXEXXEX3.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求2X的数学期望2XE。解4.0,10~BX所以4.26.04.010,44.010XDXE故4.1844.2222XEXDXE4.国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解设随机变量Y表示平均收益（单位：万元），进货量为a吨Y=aXaX33axax则800000014000220001200013200014220004000aadxadxaxYEaa要使得平均收益YE最大，所以080000001400022aa得3500a（吨）5.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望XE和方差XD。解X的可能取值为0，1，2，3，有006.03.02.01.03092.03.08.01.03.02.09.07.02.01.02398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.01504.07.08.09.00XPXPXPXP所以X的分布律为X0123Pr0.5040.3980.0920.00646.06.082.082.0006.03092.02398.01504.006.0006.03092.02398.01504.00222222XDXEXE6.设X的密度函数为xexf21，求（1）XE；（2）2XE。解（1）021dxexXEx（2）0222221221dxexdxexXExx注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为02dxexx可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。7.某商店经销商品的利润率的密度函数为0)1(2x其他10,x，求,DX。解（1）1012(1)3EXxxdx（2）122012(1)6EXxxdx故222111()()(())()6318DXEXEX8.设随机变量X的密度函数为xfxe0x00x求XE、XE2、XeXE2、XD。解01222xEXxedxEXEX22230022022141113321XXxxxxEXeEXEeeedxedxEXxedxDXEXEX9.设随机变量YX,的联合分布律为X\Y0100.30.210.40.1X)(xfEX求XE、YE、YXE2、XYE3、XD、YD、YX,cov、YX,。解关于X与Y的边缘分布律分别为：X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.35.05.015.00XE212121.025.005.0,cov05.03.05.01.0,cov3.01.031.0114.0012.0103.0003331.03.025.02221.03.03.03.03.017.003.03.017.0025.05.05.05.05.015.00,22222222YDXDYXYEXEXYEYXXYEXYEYEXEYXEYDYEYEXDXEYX10.设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为xfX022xe00xxyfY044ye00yy求YXD。解2~EX，所以41212XD，4~EY，所以161412YD，X,Y相互独立，所以165YDXDYXD。11.设YX,服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线01yx所围成的区域，求（1）XE；（2）YXE23；（3）XYE的值。解先画出A区域的图y0xy-1-1-y-1xAyxf,2Ayx,0其他dyyxfxfX,xdyx1220101x0其他dxyxfyfY,ydxy1220101y0其他121123131231323233112311201010120101dxxxdydxxyXYEYEXEYXEdyyyYEdxxxXEx12.设随机变量YX,的联合密度函数为yxf,212y10xy0其他求YDXDYXEXYEYEXE,,,,,22。解先画出区域10xy的图dyyxfxfX,xxdyy03241210x0其他dxyxfyfY,12211212yyydyy10yy101xG其他1301201200445312151122XEXxxdxEYyyydyEXYxyydydx11222223220022222216412115442657563115575EXYEXEYxxdxyyydyDXEXEXDYEYEY13.设随机变量X,Y相互独立，且3,2,1YDXDYEXE，求XYD。解111113122222222222YEXEYEYDXEXDYEXEYEXEXYEYXEXYD14.设4.0,36,25,YXYDXD，求（1）YXD；（2）YXD。解：（1）YDXDYDXDYXDYX,28536254.023625（2）YDXDYDXDYXDYX,23736254.02362515.设随机变量相互独立，，，求。解()1,()1;()2,()1EXDXEYDY2(2)2()()21(2)0(2)2()()4115EXYEXEYDXYDXDY16.验证：当),(YX为二维连续型随机变量时，按公式YX,)1,1(~NX)1,2(~NY)2(),2(YXDYXEdydxyxxfEX),(及按公式dxxxfEX)(算得的EX值相等。这里，),(yxf、)(xf依次表示XYX),,(的分布密度。证明(,)(,)EXxfxydydxxfxydydx()xfxdx17.设的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计}5.7{EXXP的值。解2(){7.5}7.5DXPXEX22.517.522.518.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计6YXP的值。解022YEXEYXE3415.02412,YDXDYDXDYXDYX所以121666062YXDYXEYXPYXPYXP21.在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。解设死亡人数为001.0,3000~,BXX，保险公司亏本当且仅当3000102000X，即15X。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为093.6173.1315999.033115115xppnpnppnpnpXPXPX