概率统计试题分析2

概率统计试题二分析一.填空题（每题3分，共24分）1.已知,2.0)|(,4.0)(ABPBAP则2(1)PA；2.假设某宿舍的4人只在我校教学主楼DCBA,,,座中的任一座上自习，则4人在不同楼上自习的概率为332；３.设随机变量X的分布函数为)(xF，概率密度)()()(21xbfxafxf，其中)(1xf是正态分布)1,0(N的概率密度，)(2xf是在2,0上服从均匀分布的随机变量的概率密度，且41)0(F，则,1122ab；４.设X～)1,0(N，令YX，则Y的密度为2210()20y0yYeyfyy；５.设随机变量X和Y相互独立，X～)9,4(N，Y～)6.0,100(B，则(32-1375)EXY，(32)1775DXY；6.设随机变量X的数学期望及方差均存在，则对任给的正数a，由切比雪夫不等式有2{||1}()XEXPaDXa；７.设有1210,,.....,XXX是来自正态总体),0(2N的简单随机样本，10122101iiXY,则YX～(10)t；8.设12,,...,nXXX是来自正态总体)1,0(N的简单随机样本，2S为样本方差，则2)1(Sn～2(1).n，2()1ES。二（10分）已知一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.解A：检查后认为是合格品的事件，B:抽查的产品为合格品的事件.()()()()()0.960.980.040.050.9428PAPBPABPBPAB，()()()/()0.9408/0.94280.998.PBAPBPABPA三（9分）设随机变量X的概率密度为其它，,0,10,)(xxAxf试求：（1）A的值；（2）X的分布函数；（3）}41161{XP。解：①1021()dd3fxxAxxA，，故3,013,()220,xxAfx其它.②300,00,0,3(){}d0101,21,1.11xxxFxPXxttxxxxx；③331111117{}()()()()1644162464PXFF四（12分）已知二维随机变量),(YX的联合概率密度为其它，,0,0,10),(2),(yxyyxyxf试求：(1)X与Y的边缘概率密度,X与Y是否相互独立？(2)(1)PXY;(3)Cov(,)XY。解（1）122(d0132101()(,)d=0,0,xXxyyxxxxfxfxyy）其它其它；y2+02(d,013,01,()(,d=0,0,Yxyxyyyfyfxyx））其它.其它显然，当01,0yxy时，()()(,)XYfxfyfxy，X与Y不独立.（2）111212{1}()ddd2()d3yyxyPXYfxyxyyxyx（3）1205()()d(321)d12XEXxfxxxxxx1301003()()d3d41()(,)ddd2()d3YyEYyfyyyyEXYxyfxyxyyxyxyx故1531cov(,)()()()312448XYEXYEXEY五（10分）设321,,XXX是相互独立且均服从参数的指数分布的随机变量。试求：（1）),min(21XXT的概率密度；（2）3XTS的概率密度。解(1)1212(){min(,)}1{min(,)}TFtPXXtPXXt2121221{,}1(1{})1e,0(1(1()))00tPXtXtPXttFtt故22e,0()00ttftt.(2)由于123,,XXX相互独立，故T与3X也相互独立.有卷积公式3320()()()d2e()dXtSTXfsftfsttfstt32222202eeed,02ee()d0,0sxxstxssxxxsfxxs22e(e1),00,0ssss六（10分）某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客的消费额(元)服从[100,1000]上的均匀分布，且顾客的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销售额上、下浮动不超过20000元的概率。（利用中心极限定理，(0.77)0.7794）。解：用Xi表示第i个消费者的消费金额，Y表示商场的总销售金额，则100001,(100,1000)iiiYXXU:，则221900550,(1000100)1212iiEXDX290055010000,1000012EYDY，则{550000020000550000020000}{20000550000020000}20000550000020000{}100*900100*900100*9001212122(0.77)10.56PYPYYP七（10分）设总体X的分布函数为11,1()0,1xFxxx其中未知参数1，nXXX,,,21是来自总体X的简单随机样本。求（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量。解：1,1()0,1xxfxx，①11()dd1EXxfxxxxx由矩估计法，令ˆˆ1X，得的矩估计量为ˆ1XX②似然函数121()niiLx，当1ix时，1ln()ln(1)lnniiLnx令1dln()ln0dniiLnx，得1lnniinx.故的极大似然估计量为1ˆlnniinX.八（15分）甲乙两公司用同型号的组装线分别生产自己的128MB（兆字节）优盘。现从甲公司的产品中随机抽取了7只，测得他们存储量的样本均值125.9x，样本方差211.1122s；从乙公司的产品中随机抽取了8只，测得他们存储量的样本均值125.0y，样本方差220.8552s。设甲的优盘存储量和乙的优盘存储量都服从正态分布，显著性水平05.0。（1）这两种优盘的存储量的方差是否相同？（2）这两种优盘的平均存储量有无显著差异？（3）求这两家公司优盘的平均存储量差的置信度为95%置信区间。(,87.3)7,6(,70.5)6,7(,12.5)7,6(05.0025.0025.0FFF7709.1)13(,164.2)13(05.0025.0tt)解：设甲公司优盘的存储量211~(,)XN，乙公司优盘的存储量222~(,)YN，221122,,,均未知.①欲检验假设22012:H，22112:H在0H为真时，检验统计量12211222(1,1)nnSFnnS，拒绝域为0.975120(1,1)Fnn（，）或0.02512(1,1)+Fnn（，）;对给的水平0.05.查F分布表，0.0250.9751(6,7)5.12,(6,7)5.70FF.计算样本观察，210221.11221.30,0.8552SFS.因为11.305.125.70，接受原假设。②欲检验假设012112:,:HH在0H为真时，检验统计量(13)11+78wXYTtS～，其中12221226713nnwSSS.拒绝域为0.025||(13)11+78wXYtS，即0.0250.025(,(13))((13),)ttU对于0.05.查t分布表，0.025(13)2.1604t.样本观察估值，125.9125.01.762261.112270.8552111378t因为样本观测值落在接受域，所以接受0H。③12的置信度为95%的置信区间为221111((13),(13))7878wwXYtSXYtS查t分布表，0.025(13)2.1604t.由样本观值，所求置信区间为(0.2052,2.052).