概率统计试题特点复习建议

1新课程卷中概率统计试题的特点与复习建议广州市黄埔区教育局教研室曾辛金邮政编码510700众所周知，我国现行《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）·数学》最先是在天津市、江西省和山西省（简称两省一市）进行实验的，他们的实验始于1997年秋季，从2000年开始这两省一市的高考试题采用单独命题（熟称新课程卷）的办法，经过三轮的实验，现已推广到全国20多个省、市（自治区）.新课程恰当精简了传统课程的内容，更新了知识和教学方法，强调灵活性和综合性，重视数学应用.新课程对数学地位的认识提到了一个新的高度：“它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”，突出了数学这门学科在形成人的综合文化素质中的重要作用.新课程增加了一些新的内容，概率统计就是其中之一，下面通过简析新课程卷（本文指理科卷·下同）中有关概率统计方面的试题，对把握命题方向，透视命题信息，科学高效地搞好新课程的高考复习，具有十分重要的意义.一、新课程卷中概率统计试题的特点1、试题分布历年新课程卷中概率统计试题分布表：年份题号全卷总分试题所占分数占分比例题型考查内容2000（13）15049.3%填空题概率分布（17）10解答题等可能事件的概率2001（14）150410.7%填空题数学期望（18）12解答题独立事件概率2002（19）150128%解答题独立重复事件概率2003（14）150410.7％填空题抽样方法（20）12解答题概率分布和数学期望2、试题特点（1）概率统计试题的题量大致为2道（一道为客观题，一道为解答题），约占全卷总分的10％，试题的难度为中等或中等偏易.（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题．例如2新课程卷中，2000年第17题是典型的古典概率应用问题，赋予“普法教育”以新的背景；2001年第18题以“控制系统”为背景，将基础知识进行了重组，并让学生横向联系，与物理中的串、并联知识相结合；2002年第19题以“网络概率”为问题情境，赋予了时代气息；2003年第20题以“乒乓球赛”为素材，让考生感到真实、亲切.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神.（3）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率；互斥事件的概率；独立事件的概率；事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率及离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查．（4）概率统计试题在试卷中的位置逐年发生变化，从2000年的第17题，移到2004年的第20题，一年往后挪一题，由此可以看出，试题的难度由易向中等难度靠近.二、新课程卷中概率统计的复习建议1、重视教材的基础作用教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，是高考试题的重要知识载体.纵观新课程卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材，特别是客观题都是从课本上的练习题或习题改编的，既使是综合题，也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用.复习阶段必须按《教学大纲》和《考试大纲》对本部分内容的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果.例如，2000年第13题、2001年第14题和2003年第14题分别是由《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）·数学·第三册（选修Ⅱ）》中P.8习题1.1第6题、P.12练习第4题和P.23习题1.3第6题改编而成；2001年第18题和2003年第20题分别是由《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）·数学·第二册（下B）》中P.131例2和P.134习题10.7第11题通过拓展、加工而成.2、重视数学思想方法的渗透数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的全过程.在概率统计的内容中蕴涵着丰富的数学思想方法，如分类讨论、逆向思维等.概率统计为人们处理现实数据信息，分析、把握随机事件，提供了强有力的工具（计算随机事件发生的概率、求随机变量的数学期望与方差）.也更加丰富、完善了中学数学思想方法，进一步拓宽了知识的应用空间.例（2002年第19题）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是30.5（相互独立）．（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？解（Ⅰ）方法1：利用分类讨论的思想解决.将“至少3人同时上网的概率”转化为“恰有3人同时上网，恰有4人同时上网，恰有5人同时上网，恰有6人同时上网”等四种情形，即36C(0.5)6＋46C(0.5)6＋56C(0.5)6＋66C(0.5)6＝3221.方法2：利用逆向思维的思想解决.将“至少3人同时上网的概率”转化为“1减去至多2人同时上网的概率”，即1－06C(0.5)6－16C(0.5)6－26C(0.5)6＝1－3211＝3221.（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为3.03211)5.0()5.0()5.0(666656646CCC至少5人同时上网的概率为3.0647)5.0)((66656CC因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.合理选择方法是提高解题速度的有效手段，如2001年第18题的“控制系统”问题，在求“系统N2正常工作的概率”时，同样可以用上述两种方法解决：一是将问题分为三类：元件A、B正常工作，元件C不正常工作；元件A、C正常工作，元件B不正常工作；元件A、B、C都正常工作．即P＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(C)P(B)＋P(A)P(B)P(C)，这样思考不但容易遗漏第三种情况，忘记不正常工作的元件，而且运算量较大，导致解题错误．但若我们合理使用公式()1()PAPA，则“系统N2正常工作的概率”可以看成元件A正常工作，元件B、C都不正常工作的对立事件的概率.即P＝P(A)[1－P(B·C)]，这样处理，使运算简捷、合理，并大大降低了计算的出错率．3、重视概率统计的应用功能由于新课程强调数学教育的基础性、现实性、大众性，重视素质教育与高考的兼容性，概率统计在社会现实中具有很高的应用价值.在复习中要关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展等各个方面，并从中提炼出具有社会价值的数学应用背景.应注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流.参考文献1．邹明.数学新课程高考题简析与复习建议.中学数学教学参考，2002，124高考概率试题（新课程卷）1、（2000年新课程卷理第13题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品的概率分布是012p0.90250.0950.00252、（2000年新课程卷文第13题）从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于________.（0.05）3、（2000年新课程卷第17题）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？注：本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。满分10分。解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C14C个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C19C个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为154191101416CCCC，所求概率为154；——5分（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314CCCC，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为15131191101314CCCC，所求概率为1513。或191101516CCCC191101416CCCC191101614CCCC151315415431，所求概率为1513。——10分4、（2001年新课程卷理第14题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球.从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）.（1.2）5、（2001年新课程卷文第14题）一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为．（16）56、（2001年新课程卷理第18题、文第19题）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.ABCACBNN12注：本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件P（A）=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.（I）因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率P1=P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.80×0.90×0.90=0.648.故系统N1正常工作的概率为0.648.（II）系统N2正常工作的概率)],()(1[)()](1[)(2CPBPAPCBPAPP,10.090.01)(1)(,10.090.01)(1)(CPCPBPBP.792.099.080.0]10.010.01[80.02P故系统N2正常工作的概为0.792.7、（2002年新课程卷文第13题）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。我国农村人均居住面积如图所示，其中，从年年的五年间增长最快.8、（2002年新课程卷第19题）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）．（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？注：本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分.解（Ⅰ）方法1：利用分类讨论的思想解决.将“至少3人同时上网的概率”转化为“恰有3人同时上网，恰有4人同时上网，恰有5人同时上网，恰有6人同时上网”等四种情形，25.020.015.014.717.821.024.81985199019952000面积/m26即36C(0.5)6＋46C(0.5)6＋56C(0.5)6＋66C(0.5)6＝3221.方法2：利用逆向思维的思想解决.将“至少3人同时上网的概率”转化为“1减去至多2人同时上网的概率”，即1－06C(0.5)6－16C(0.5)6－26C(0.5)6＝1－3211＝3221.（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为3.03211)5.0()5.0()5.0(666656646CCC至少5人同时上网的概率为3.0647)5.0)((66656CC因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.9、（2003年新课程卷理第14题）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量。现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆.（6、30、10）10、（2003年新课程卷第20题、辽宁卷第20题）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员