概率统计课程第6次作业参考解答

1第六次作业参考解答习题2.1.7775.P15．设随机变量X的分布函数为.11;10,;00)(2xxAxxxF，，试求：(1)系数A；(2)X落在区间(0.3,0.7)的概率；(3)X的密度函数.解依题设可知，X为连续型随机变量.(1)连续型随机变量X的分布函数在),(上点点连续，有1)1()01(FF，即112A，所以，1A.(2)利用X的分布函数)(xF得所求概率为)7.03.0()7.03.0(XPXP)3.0()7.0(FF4.03.07.022.(3)由于在)(xF的可导点处有：()()pxFx，2得i)当0x或1x时，()()pxFx=0；ii)当10x时，()()pxFx)(2xx2；iii)当10或x时，)(xF不可导，但可不妨取0)1()0(pp，所以X的密度函数为.0;102)(，其他，xxxp16．学生完成一道作业的时间X是一个随机变量，单位为小时，它的密度函数为.0;5.00)(2，其他，xxcxxp(1)确定常数c；(2)写出X的分布函数；(3)试求在20分钟内完成一道作业的概率；(4)试求10分钟以上完成一道作业的概率.解(1)由密度函数的正则性，得35.005.002328124)213()(1cxxcdxxcx，所以21c.(2)由xdttpxF)()(，得i)当0x时，xdttpxF)()(00xdt；ii)当5.00x时，xdttpxF)()(23020217)21(0xxdtttdtx；iii)当5.0x时，xdttpxF)()(10)21(05.05.0020dtdtttdt.所以，X的分布函数.5.01;5.00,5.07;00)(23xxxxxxF，，(3))(xFX的分布函数由，得)310()min20(XPP内完成一道作业在4)0()31(FF0)81277(5417；(4))(xFX的分布函数由，得)61()min10(XPP以上完成一道作业)61(1F)7212167(1108103.习题2.2.8684.P1.设离散型随机变量X的分布列为X202P0.40.30.3试求EX和)53(XE.解由已知分布和期望定义，得2.03.023.004.02EX.由随机变量函数期望的计算方法，得4.43.0)523(3.0)503(4.0]5)2(3[)53(XE.或者，由期望的性质，得54.45)2.0(353)53(EXXE.9.（此为思考题，同样提供参考解答）某人想用10000元投资某个股票，该股票当前的价格是每股2元，假设一年后该股票等可能的为每股1元和每股4元。而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后拥有的股票数量最大，则一年以后购买.试问理财顾问的建议是否正确？为什么？解本问题的判断依据是：用10000元投资购买该股票，通过比较今年买入和一年后买入两种买法的相关指标的大小来判定理财顾问建议的正确性.从股票市值的期望值指标来看：投资10000元今年买入，得到5000股，记X“今年买入，一年后这5000股的股票市值数”，则X为离散型随机变量，且由于股票一年后的价格可能是1元或4元，所以X的可能值为5000元，20000元.并且X的分布列为X500020000P2121于是6125002120000215000EX（元）又如果是，不考虑原来的10000元的增值，一年后投资10000元买入该股票，无论到时股票的价格是1元或4元，买入后股票市值都是10000元.再从股票数量指标来看：投资10000元今年买入，得到5000股.如果是，不考虑原来的10000元的增值，一年后投资10000元买入该股票，记X“一年后投资10000元买入该股票能买入的股数”，则X为离散型随机变量，且由于股票一年后的价格可能是1元或4元，所以X的可能值为2500股，10000股.并且X的分布列为X250010000P2121于是62502110000212500EX（股）根据以上数据，可判定理财顾问的建议是正确的.14.设随机变量X的密度函数为7.0;2083)(2，其他，xxxp试求21X的数学期望.解记21)(XXgY，则21X的数学期望为43831)()()]([)1(20222dxxxdxxpxgXgEEYXE.习题2.3.9291.P2.假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如为不合格品，则扔掉重新任取一只，如仍为不合格品则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的方差.解记X＝“在取到合格品之前，已取出的不合格品只数”，则X为离散型随机变量，其可能值为0，1，2.而利用概率的古典方法和乘法公式容易求得X的分布列为X0128P4536458451由此，得924512458145360EX，1544512458145360)(2222XE.于是，在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的方差为40588)92(154)()(222EXXEDX.6.（此为思考题，这里提供参考解答）试证：对任意常数EXc，有22)()(cXEEXXEDX.Proof由于)2(])(2[)()(222222ccXXEEXXEXXEcXEEXXE22222)()(2)(ccEXXEEXEXEXXE2)(EXc可见当EXc时，0)()()(222EXccXEEXXE，即22)()(cXEEXXEDX.912.设)(xg为随机变量X取值集合上的恒正不减函数，且))((xgE存在，证明：对任意的0，有)())(()(gxgEXP.Proof先就离散型随机变量证明如下：设X的分布列为,2,1,)(ipxXPii，则由已知，对0，当0ix时，有0)()(gxgi.于是ixxiipgxgpXPii)()()()())(()()(11gXgEpxggiii.再就连续型随机变量证明如下：设X的密度函数为)(xp，则由已知，对0，当0x时，有0)()(gxg.于是dxxpgxgdxxpXP)()()()()()())(()()()(1gXgEdxxpxgg.10证毕.习题2.4.106104.P3.某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率.解记X＝“该射手三次射击所得10环的次数”，则由已知得X～)7.0,3(b，于是P(该射手三次射击所得的环数不少于29环))2(XP)3()2(XPxP3332237.03.07.0CC784.0.6.设随机变量X～),2(pb，而随机变量Y～),4(pb，若98)1(XP，试求)1(YP.解由X～),2(pb及98)1(XP，得2)1(1)0(198pXP，解之得，1132p，或34p(不合，舍去).于是Y～)32,4(b，从而8180)321()32(1)0(1)1(4004CYPYP.7.一批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品.分别用以下方法求拒收的概率：(1)用二项分布作精确计算;(2)用泊松分布作近似计算.解记X＝“从这批产品任取40件进行检查发现的次品数”，则X～)02.0,40(b，于是(1)用二项分布作精确计算，得P(拒收这批产品))2(XP)1()0(1XPXP391140400040)02.01(02.0)02.01(02.01CC1905.0.(2)用泊松分布作近似计算：由于X～)02.0,40(b，这其中40n较大，02.0p也12较小，所以X近似服从8.0np的泊松分布，作近似计算，得P(拒收这批产品))2(XPekkk10!8.011912.0(查表).9.（此为思考题，这里提供参考解答）已知某商场一天来的顾客数X服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为p的泊松分布.证明记Y＝“此商场一天内购物的顾客数”，则由全概率公式，有kiiXkYPiXPkYP)()()(kikkikiippCei)1(!kiikkipekp)!()]1([!)()1(!)(pkeekp13pkekp!)(，,2,1,0k.可见，Y～)(pP.15.（此为思考题，这里提供参考解答）某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检验，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备，若检验员每天检查4次，试问每天平均要调整几次设备.解记X“每次随机抽取10件进行检验发现不合格品件数”，则由已知得X～)1.0,10(b，于是P(需要调整设备))1(XP)1()0(1XPXP9110109.01.09.01C2639.0.又记Y＝“每天调整设备的次数”，则Y～)2639.0,4(b，于是，每天平均要调整设备的次数为0556.12639.04EY（次）.