概率论(随机变量的函数的分布)

172.4随机变量的函数的分布1、设随机变量X具有分布律：X－/20/2kp0.20.30.5求XY32和XZcos的分布律及分布函数。解：XY32的分布律为Y－/30/3kp0.20.30.5分布函数为：030.2030.50313yyFyyyXZcos的分布律为：Z01kp0.70.3分布函数为:000.70111zFzzz2、设随机变量X服从标准均匀分布,试求Y=eX的概率密度及分布函数。解：X服从0,1均匀分布，则当1y时lnXYFypYypeyPXy)(1)1(ln)1(0eyeyyy18所以，Y的概率密度为其他）(0)1(1)()(eyyxFxf3、设随机变量X服从标准正态分布,试求W=|X|的概率密度。解：对yo，有0WFyPWy当0y时，WFyPWyPXyPXyXyPXyPXy因X服从标准正态分布，所以22221122xxyyWFyedxedxW=|X|的分布函数是：22221102200xxyyWedxedxyFyyW=|X|的概率密度)0(0)0(2exp22)(24、设随机变量X的概率密度为其它02||cos)(xxAxf，试求:(1)常数A;(2)Y=sinX的概率密度;(3)P(|sinX|0.5)。解：(1)因1fxdx，所以2222222210cos0sin2fxdxfxdxfxdxfxdxAxdxAxA所以12A19(2)YFsinarcsin2ypYypXypXyarcsin2111cos222yxdxy所以：Y111122F0111yyyyyY=sinX的概率密度为:11120Yypy其他(3)sin0.50sin0.50.5sin0PXPXPX00.50.500.5PYPY5、假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作时间E(X)为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数。解：当0y时，0Fy当02y时，因E(X)为5小时又1EX,所以15，故：11550115xyyFypXyedxe当2y时，1FyY的分布函数为：150010212yyFyeyy