概率论A卷及答案

黄冈师范学院考试试卷2001─2002学年度第一学期期末考试A卷科目:概率论出卷教师:吴卫兵班级:数学本990___班学号:_____姓名:_______题号一二三四五总分分数一、叙述下列概念的定义(5分×4=20分):1.概率的公理化定义2.古典概型3.随机变量4.随机变量序列{ξn}(n=1,2,…)依概率收敛于随机变量ξ二、选择题(请将每小题唯一正确的答案序号写在答卷纸上,2分×10=20分)1.已知事件A与B互不相容,P(A)0,P(B)0,则:A.P(BA)=1B.P(AB)=P(A)·P(B)C.P(AB)=0D.P(AB)02.设A1,A2,…,An是事件,则事件的概率具有的如下性质中不正确的是:A.P(Ω)=1B.P(Φ)=0C.P(niiA1)=niiAP1)(D.P(Ai)≥0(1≤i≤n)3.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(A|B)=0.32,则P(BA)=A.0.42B.0.428C.0.52D.0.5284.一次抛二枚骰子,出现的点数之和为偶数的概率是A.0.5B.0.4C.0.45D.0.65.设与的数学期望和方差都存在,则下列等式中正确的是:A.D(+)=D+DB.D(·)=D·DC.E(+)=E+ED.E(·)=E·E6.设ξ～b(k;n,p),且Eξ=2.4,Dξ=1.44,则n与p分别为:A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.17.设随机变量ξ取两个值a1,a2(a2a1),且P(ξ=a1)=0.6,又Eξ=1.4,Dξ=0.24,则ξ的分布列为:A.4.06.010B.4.06.0baC.4.06.01nnD.4.06.0218.设p(x)=cosx是随机变量ξ的密度函数,则x∈A.[0,2]B.[2,]C.[0,]D.[23,47]9.已知(ξ,η)的联合密度为p(x,y)=其它,00,10,)1(24xyxyx,则)|(|yxp=A.其它,00,10,2xyxyB.其它,00,10),1(2xyxyC.其它,00,10,2xyxxD.其它,00,10),1(2xyxx10.设ξ～U[0,1],则ξ的特征函数为:A.iteit1B.iteitC.iteitD.iteit1三、判断题(对的打“√”,错的打“×”,并请将答案写在答卷纸上,2分×5=10分).1.若随机变量～e(),则有DE.2.若随机变量与的协方差为cov,,且与相互独立,则cov,=0.3.二维连续型随机变量21的协方差矩阵B是正定矩阵.4.设有一列随机变量,,,,21若nLn,则)(nPn.5.设ξ与独立,都服从(0,1)上的均匀分布,则其它,010,1)|(|xyxp.四、填空题(请将答案写在答卷纸上,2分×5=10分)1.设随机变量,的联合密度为p(x,y),ξ与独立,则p(x,y)=________________.2.设随机变量ξ的密度为p(x)=其它,020,5.0xx,则ξ的一阶原点矩为__________,一阶中心矩为__________.3.设D(X),D(Y)都不为０,若有常数a≠o与b,使Ｐ{Y=aX+b}=1,这时X与Y的相关系数XY=.4.设,～N(1,1,2,2,0),则Eξ=_______,D=________,cov,=________.5.设,～N(1,1,1,1,1),则E(ξ|=2)=__________.五、计算题(10分×4=40分)1.N个人同乘一辆长途汽车,沿途有n个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车.设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的平均数.2.从5双不同尺码的鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?3.一个螺丝钉的重量是个随机变量,其期望值是1克,标准差是0.1克.求一盒(100个)螺丝钉重量大于102克的概率.(已知Φ(2)=0.97725)4.设与相互独立,分别是自由度为n及m的2-分布的随机变量,试求mn的密度函数.·绝密·卷号：黄冈师范学院考试试题参考答案及评分标准专业名称：数学及应用数学试卷类型：A卷课程名称：概率论命题日期：2001-12-23一、叙述下列概念的定义(每小题5分，共20分)1.概率是定义在-代数ℱ上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数.2.具有下述两个特征的随机试验所对应的数学模型称为古典概型.(1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个，不妨设为n个，记为1、2、…、n；(2)每个基本事件出现的可能性是相等的，即有)()()(21nPPP.3.定义在样本空间上，取值于实数域R的变量)(，称作随机变量.4.如果0，有1)|(|limnnP，则称随机变量序列}{n依概率收敛于.记作Pnnlim或)(nPn.二、选择题(每小题2分，共20分)1.C2.C3.B4.A5.C6.B7.D8.A9.D10.D三、填空题(每小题2分，共10分)1.)()(yPxP2.34,03.14.1,2,05.2四、判断题(每小题2分，共10分)1.√2.√3.×4.×5.√五、计算题(每小题10分，共40分)1.解：设停车次数为.令i表示在第i站停车的次数，则.,1;,0站有人下车在第站无人下车在第iii(i=1，2，…，n).因为NinP)11()0(，所以NiinPP)11(1)0(1)1(.又nii1，所以])11(1[])11(1[)(111NniNniiniinnnEEE.答：停车次数的平均数为])11(1[Nnn.2.解：设事件A为“4只鞋子中至少有2只配成一双”.显然，样本点总数为10只鞋子中任取4只的组合数，即410Cn=210.事件A所包含的样本点数为2512122415CCCCCk=130.所以2113210130)(nkAP.3.解：设第i个螺丝钉的重量为i(i=1，2，…，n)，则由已知iE=1，iiD=0.1，(i=1，2，…，n)，n=100.所以)102(1001iiP=1-)102(1001iiP=1-)102(1001nEnnEnPiiiiii=1-)21001.0100(1001iiP≈1-)2(=1-0.97725=0.022754.解：自由度为n的2-分布的密度函数为.0,0;0,)2(21)(2122xxexnxpxnn由此容易求得n的密度函数为.0,0;0,)()2(2)(2122xxenxnnxpnxnnn同理可求得m的密度函数为.0,0;0,)()2(2)(2122xxemxmmxpmxmmm于是由卷积公式得dxxyxpxyp),(||)(=021222122)()2(2)()2(2dxemxmmenxynnxmxmmnxynn=02)(1212222)2()2(2dxexymnmnmnyxnmnnmmn令tmnyx)(，则有)(yp=021212222)()()2()2(2dtmnyemnytymnmntnmnnmmn=0212221222)2(21)()2()2()2(dtetnmmnyymnmnnmtnmnmnmnmn=21222)()2()2()2(nmnmnmnyymnmnnm.即为所要求的.其中02122)2(21dtetnmtnmnm恰好是自由度为2nm的2-分布的密度函数的积分，所以等于1.