概率论_第一章_习题

习题选解1第一章随机事件及其概率1.2设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来：（1）仅A发生；（2）A、B、C都发生；（3）A、B、C都不发生；（4）A、B、C不都发生；（5）A不发生，且B、C中至少有一事件发生；（6）A、B、C中至少有一事件发生；（7）A、B、C中恰有一事件发生；（8）A、B、C中至少有二事件发生；（9）A、B、C中最多有一事件发生。解：（1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）ABC；（5）()ABCABC=；（6）ABCABC=；（7）ABCABCABC++；（8）ABCABCABCABC+++或者ABBCAC；（9）ABCABCABCABC+++或者ABBCAC或者ABBCAC1.4电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0,1,2,9中的任一个数字（但第一个数字不能是0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。解：基本事件的总数（即7位电话号码的总数）为116910()NCC=，而由完全不同的数字组成的电话号码的个数为1699MCA=，于是所求概率16991169100.0605()CApCC=?1.5把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本放在一起的概率。解：10本书共有1010A种排法。指定的三本放在一起有33A种排法，把这三本看作一个整体与剩下的7本书又有88A种排法，因此所求的概率383810100.0667AApA=?1.7在桥牌比赛中，把52张牌任意的分发给东、南、西、北四家（每家13张牌），求北家13张牌中：（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率；（2）恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的概率。习题选解2解：基本事件的总数1352NC=。（1）事件A(北家的13张牌中恰有5张黑桃，4张红心，3张方块，1张草花)包含的基本事件数5431113131313MCCCC=，于是，所求的概率5431131313131352()0.0054CCCCPAC=?。（2）事件B（北家的13张牌中恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌）包含的基本事件数1492436()MCC=，于是，所求的概率1494361352()()0.0380CCPBC=?。1.9同时掷四个均匀的骰子，求下列事件的概率：（1）A——四个骰子的点数各不相同；（2）B——恰有两个骰子的点数相同；（3）C——四个骰子的点数两两相同，但两对的点数不同；（4）D——恰有三个骰子的点数相同；（5）E——四个骰子的点数都相同。解：同时投掷四个均匀的骰子，出现的点数共有146()C种。（1）事件A包含的事件个数416MA=，于是46146()0.2778()APAC=?；（2）事件B包含的事件个数1222645MCCA=，于是122645146()0.5556()CCAPBC=?；（3）事件C包含的事件个数22364MCC=，于是2264146()0.0694()CCPCC=?；（4）事件D包含的事件个数1314645MCCC=，于是131645146()0.0926()CCCPDC=?；（5）事件E包含的事件个数156MC=，于是16146()0.0046()CPEC=?1.13某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品。从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率。分析：设事件A表示检查时发现次品不多于1个，则可以分解为两个互不相容事件的并：01AAA=+，其中事件0A表示检查时没有发现次品，事件1A表示检查时发现1个次品。由此不难利用概率加法定理求解。习题选解3解：从这批产品中任取一半（即50个产品）来检查，基本事件的总数50100NC=。事件0A，1A包含的基本事件数分别是0500595MCC=，1491595MCC=。按公式（1.3）得050595050100()0.0281CCPAC=?，149595150100()0.1529CCPAC=?。于是，按概率加法公式（1.11）得所求概率0101()()()()0.02810.15290.181PAPAAPAPA=+=+?=。1.19在1~100共一百个数中任取一个数，求这个数能被2或3或5整除的概率。解：设事件1A表示该数能被2整除；2A表示该数能被3整除；3A表示该数能被5整除，则123123121323123()()()()()()()()PAAAPAPAPAPAAPAAPAAPAAA=++---+503320161063740.74100100100100100100100100=++---+==1.23猎人在距离100m处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150m；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200m。假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。分析：设事件A表示猎人击中动物，事件iB表示第i次射击时击中（1,2,3i=），则A可以分解如下：112123ABBBBBB=++。在计算得事件23BB及的条件概率后，就不难利用概率乘法定理与概率加法定理求解。解：因为第i次击中的概率ip与距离id成反比，所以设,1,2,3iikpid==，其中k为比例常数。已知111100,()0.6dpPB===，代入上式得60k=，所以有60,1,2,3iipid==。因为在第一次未击中的条件下才进行第二次射击，在第一次、第二次都未击中的条件下才进行第三次射击，所以上述概率2p及3p都是条件概率，即21260(|)0.4150PBBp===，312360(|)0.3200PBBBp===。于是，按概率乘法公式（1.16）及（1.18）得12121()()(|)(10.6)0.40.16PBBPBPBB==-?123121312()()(|)(|)(10.6)(10.4)0.30.072PBBBPBPBBPBBB==-??。最后，按概率加法公式（1.13）得所求概率112123()()()()0.60.160.0720.832PAPBPBBPBBB=++=++=习题选解41.25两台车床加工同样多的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件时合格品的概率。解：设事件A表示取出的零件是合格品；事件iB（1,2i=）表示取出的零件是第i台车床加工的零件。由全概率公式：112221()()(|)()(|)(10.03)(10.02)0.973333PAPBPABPBPAB=+=?+?=1.27试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的。任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案。设考生会解这道题的概率是0.8，求：（1）考生选出正确答案的概率；（2）已知某考生所选答案是正确的，则他确实会解这道题的概率。分析：设事件B表示考生会解这道题，则事件B表示考生不会解这道题。又设事件A表示考生选出正确答案，则A可以分解如下：AABAB=+。（1）利用全概率公式即可求得概率()PA；（2）已知事件A发生，可以利用贝叶斯公式求条件概率(|)PBA。解：（1）由题意知：()0.8PB=，()10.80.2PB=-=；(|)1PAB=，1(|)0.254PAB==。于是，按全概率公式（1.20）得所求概率()()(|)()(|)0.810.20.250.85PAPBPABPBPAB=+=??（2）按贝叶斯公式（1.21）得所求概率()(|)0.81(|)0.941()0.85PBPABPBAPA´==?1.28在习题1.25中，如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。解：由贝叶斯公式：22210.02()(|)3(|)0.2497()10.9733PBPABPBAPA´==?-1.36电灯泡使用时数在1000h以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000h以后最多只有一个坏了的概率。解：设0A表示一只也没有坏，1A表示只坏了一只，则31201013()()()0.20.80.20.0080.0960.104PAAPAPAC习题选解51.38射击运动中，一次射击最多能得10环。设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在五次独立射击中得到不少于48环的概率。分析：设事件A表示该运动员在5次独立射击中得到不少于48环，则A可以分解为下列事件的并：1234AAAAA=+++，其中1A——5次都得到10环，共得50环；2A——5次中有4次得到10环，1次得到9环，共得49环；3A——5次中有4次得到10环，1次得到8环，共得48环；4A——5次中有3次得到10环，2次得到9环，共得48环。我们可以先利用类似于推导二项概率公式的方法计算概率(),1,2,3,4;iPAi=再利用概率加法定理求解。解：已知每次射击得10环、9环、8环的概率分别是100.4p=，90.3p=，80.2p=，则按概率乘法公式（1.19）与概率加法定理得51()0.40.01024PA==；44125()0.40.30.0384PAC=创=；44135()0.40.20.0256PAC=创=；33245()0.40.30.0576PAC=创=。于是，按概率加法公式（1.13）得所求概率1234()()()()()0.010240.03840.02560.05760.132PAPAPAPAPA=+++=+++?