概率论与数理统计(II)期末考试样卷1(答案)

命题人或命题小组负责人签名：教研室（系）主任签名：分院（部）领导签名：第1页（共4页）…………………………………………………………装订线……………………………………………………班级：姓名：____________________学号：____________________…………………………………………………………密封线……………………………………………………概率论与数理统计（II）期末考试样卷1参考答案注意：所有数据结果保留小数点后两位，本试卷可能用的数据如下：0.9750.930.920.9750.950.950.975(1.71)0.96,(1.14)0.87,1.96,(8)1.8,(9)1.8,(9)2.262(1)0.84,(15)1.753,(2,12)3.89,(12)2.1788,(2.67)0.996UttttFt一、填空题(每小题3分，共24分)1．设某厂生产的灯泡的使用寿命(单位:小时)2~(1000,)XN，抽取一容量为9的样本，得到940,100xs,则(940)Px=0.07.2．某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）为351347355344351则其经验分布函数5()Fx=15254503443443473473513513551355xxxxx.3.设16,,XX为总体~(0,1)XN的一个样本，且cY服从2分布，这里，22123456YXXXXXX,则c13.4．设161,,xx是来自(8,4)N的样本，则(16)(10)Px161(0.84).5．设1,,nXX为来自(,1)(0)U的一个样本，11,niniXX则未知参数的矩估计量是21X.6．设1,,nXX为来自2(,)N的一个样本，1211niiicXX为2的无偏估计，则常数c=12(1)n.7．已知某种材料的抗压强度2~(,),XN现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得样本均值457.5,x标准差35.217,s则的95%的置信区间为[432.31,482.69].8．设1,,nXX为来自2(,)N的一个样本，2211111,()nniinniiXXSXX，其中参数2,未知，要检验假设00:H应用t检验法，检验的统计量是0XSn。二、单项选择题（每小题2分，共8分）1.设()nFx是经验分布函数，基于来自总体X的样本，而()Fx是总体X的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的x，()nFx（A）。A．是分布函数；B．依概率收敛于()Fx；C．是一个统计量；D．其数学期望是()Fx。2.设1,,nXX为来自2(0,)N的一个样本，X和2S分别为样本均值和样本方差，则（C）22222222(1).~(1,1);.~(1,1);(1).~(1,1);.~(1,1).XnXAFnBFnSSnXnXCFnDFnSS3.设nXXX,,,21是总体),0(2N的样本，则（A）可以作为2的无偏估计量.（A）niiXn121；（B）niiXn1211；（C）niiXn11；（D）niiXn111.4.在假设检验中，用α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法正确的是（C）。A．α减小β也减小；B．α增大β也增大；C．α与β不能同时减小，减小其中一个，另一个往往就会增大；D．A和B同时成立。命题人或命题小组负责人签名：教研室（系）主任签名：分院（部）领导签名：第2页（共4页）…………………………………………………………装订线……………………………………………………班级：姓名：____________________学号：____________________…………………………………………………………密封线……………………………………………………三、计算题（共20分）1（6分）在总体2~(52,6.3)XN中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值x落在50.8与53.8之间的概率。解：由于3612361),36,,1)(3.6,52(~iiiXXiNX，故,525236)361()(XE222)63.6(3.636)361()(XD所以)1,0(~63.652),)63.6(,52(~2NXNX从而。于是可得63.6528.5363.65263.6528.50}8.538.50{XPXP8293.0)8729.01(9564.0)143.1()714.1(2（8分）设某厂生产的晶体管的寿命1~XExp，其中0未知。现随机地抽取5只晶体管进行测试、测得它们的寿命(单位：小时)如下：518612713388434试求该厂晶体管的平均寿命的极大似然估计值。解：X的密度函数为1(;),0xfxex，则似然函数为1111(,,;)(;),0niinnxniiiLxxfxex，令ln0L，得11ninixx，故的极大似然估计为ˆX，且()EX，从而该厂晶体管的平均寿命的极大似然估计值为5186127133884345ˆ533x3（6分）从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X服从正态分布.已知标准差40小时,在置信度0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间。解：10.95，故0.05，由题意可知，2~(,40)XN，则的置信度0.95的置信区间为2400.9751100100010007.84[992.16,1007.84]nxUU四、应用题（24分）1（8分）某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，为此，从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其硬度为镍合金：76.4376.2173.5869.6965.2970.8382.7572.34铜合金：73.6664.2769.3471.3769.7768.1267.2768.0762.61计算得892211205.7958,91.1552iiiixxyy。根据经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变。试在显著性水平0.05下判断镍合金的硬度是否有明显提高？解：用X表示镍合金的硬度，用Y表示铜合金的硬度，由假定，2212(,),(,)XNYN，要检验的假设是：012112:,:HH，由于两者方差未知但相等，故采用两样本t检验，经计算，73.39,68.2756xy，从而892211289211[][205.795891.1552]4.4494wiimniiSxxyy，从而11118973.3968.27564.44942.37wmnxySt，由0.95(15)1.753t，可知0.95(15)tt，故拒绝原假设，镍合金的硬度有明显提高。命题人或命题小组负责人签名：教研室（系）主任签名：分院（部）领导签名：第3页（共4页）…………………………………………………………装订线……………………………………………………班级：姓名：____________________学号：____________________…………………………………………………………密封线……………………………………………………2（8分）有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%，为检验之，随机调查该地150名成年人，发现有30名大学毕业生。（I）试给出检验的p值；（II）问在0.05下该人看法是否成立？解：(I)解：以p表示成年人中的大学生毕业生比例，X表示该地150名成人中的大学生毕业生人数，则(150,)Xbp，则检验问题为：01:0.3,:0.3HpHp，由于样本容量较大，可以采用大样本U检验，注意到：(1)150(,)ppXANp，000()150(0.20.3)301.22471500.458(1)0.3(10.3)0.2,2.67nxpppxu，故(2.67)1(2.67)10.9960.004PU，即检验的p值为0.004.(II)由0.050.004p，因此，在显著性水平0.05下，拒绝0H，即该地成年人中大学毕业生比例不低于30%不真。3（8分）某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响。现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测的的含水率如下表：储藏方法含水率数据iT2iT21nijiyA1A2A37.38.37.68.48.35.47.47.16.85.37.99.510.09.88.439.93245.61592.0110242079.36319.39208.66419.26（1）假定各种方法储藏的粮食含水率服从正态分布，且方差相等，试在0.05水平下检验这三种方法对含水率有无显著影响；（2）对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间。解：22222117.54695.37117.5115515111947.3126.89,14,18.657,2rmrTTTijTAiAnmnijiSyfSTf8.233,12eTAeSSSf，则，9.328713.590.6863AAeeSfFSf，在显著性水平0.05下，0.95(2,12)3.89F，故拒绝域为{3.89}WF，由于13.593.89F，故认为三种方法对含水率有显著影响。(2)每种水平含水率的均值估计分别为11.22.33.ˆˆˆ7.98,6.4,9.12,yyy而误差方差的无偏估计为2ˆˆ0.6863,0.68630.8284eMS，故0.05，则20.9751()(12)2.1788etft，0.975ˆ(12)50.8072t，于是三个水平均值的0.95的置信区间为123:7.980.8072[7.17,8.79],:6.400.8072[5.59,7.21],:9.120.8072[8.31,9.93]五、综合题（共24分）．1（12分）设12,,,nxxx是来自正态总体2(,)N的样本，（1）求2,的矩法估计2ˆˆ,；（2）求2ˆ()E.解：（1）2222,();EXVarXEX令222222*211ˆ,?,11ˆˆ,?(),nniiiixxxxxSnn所以2和的矩法估计分别为222*211ˆ,?().niixxxSn（2）因为2*2*22222()~(1).1.ixxnSnSnEn所以2*221(?)().nEESn命题人或命题小组负责人签名：教研室（系）主任签名：分院（部）领导签名：第4页（共4页）…………………………………………………………装订线……………………………………………………班级：姓名：____________________学号：____________________…………………………………………………………密封线……………………………………………………2（12分）设总体密度函数为1(;),01,0,pxxx，12,,,nxxx是其样本。（1）求该总体分布的费希尔信息量()I；（2）求()1/g的最大似然估计；（3）求()g的有效估计。解：(1)1ln(;)lnln(1)lnPxxx，222ln