概率论与数理统计(浙大)习题答案第1章

第一章概率论的基本概念1写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)解}100,,1,0|{niniS其中n为小班人数(2)同时掷三颗骰子记录三颗骰子点数之和解S{34,18}(3)生产产品直到得到10件正品为止记录生产产品的总件数解S{101112n}(4)对某工厂出厂的产品进行检查合格的记上“正品”不合格的记上“次品”如连续查出2个次品就停止检查或检查4个产品停止检查记录检查的结果解S{001000100010110100110110001111011110111101111}其中0表示次品1表示正品(5)在单位圆内任意取一点记录它的坐标解S{(xy)|x2y21}(6)将一尺之棰成三段观察各段的长度解S{(xyz)|x0y0z0xyz1}其中xyz分别表示第一、二、三段的长度2.设ABC为三事件用ABC的运算关系表示下列各事件(1)A发生B与C不发生解表示为ABC或A(ABAC)或A(BC)(2)AB都发生而C不发生解表示为ABC或ABABC或ABC(3)ABC中至少有一个发生解表示为ABC(4)ABC都发生解表示为ABC(5)ABC都不发生解表示为ABC或S(ABC)或CBA(6)ABC中不多于一个发生解即ABC中至少有两个同时不发生相当于ABBCAC中至少有一个发生故表示为ABBCAC(7)ABC中不多于二个发生解相当于ABC中至少有一个发生故表示为ABC或ABC(8)ABC中至少有二个发生解相当于ABBCAC中至少有一个发生故表示为ABBCAC3设AB是两事件且P(A)0.6P(B)0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取得最大值最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取得最小值最小值是多少？解(1)因为P(AB)P(A)P(B)P(AB)且P(A)P(B)P(AB)所以当AB时P(AB)P(B)P(AB)取到最大值最大值为P(AB)P(A)0.6(2)当ABS时P(AB)取到最小值最小值为P(AB)0.60.710.34设ABC是三事件且P(A)P(B)P(C)1/4P(AB)P(BC)0P(AC)1/8.求ABC至少有一个发生的概率解P(ABC至少有一个发生)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)(3/4)(1/8)05/85在一标准英语字典中有55个由两个不同的字母所组成的单词若从26个英文字母中任取两个字母予以排列问能排成上述单词的概率是多少？解记A表“能排成上述单词”因为从26个任选两个来排列排法有226A种每种排法等可能字典中的二个不同字母组成的单词55个所以1301155)(226AAP6在房间里有10人分别佩戴从1号到10号的纪念章任选3人记录其纪念章的号码(1)求最小的号码为5的概率解记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A因为10人中任选3人为一组选法有310C种且每种选法等可能又事件A相当于有一人号码为5其余2人号码大于5这种组合的种数有251C所以1211)(31025CCAP(2)求最大的号码为5的概率解记“三人中最大的号码为5”为事件B同上10人中任选3人选法有310C种且每种选法等可能又事件B相当于有一人号码为5其余2人号码小于5选法有241C种所以2011)(31024CCBP7某油漆公司发出17桶油漆其中白漆10桶、黑漆4桶红漆3桶在搬运中所有标签脱落交货人随意将这些标签发给顾客问一个定货4桶白漆3桶黑漆和2桶红漆顾客能按所订颜色如数得到定货的概率是多少？解记所求事件为A在17桶中任取9桶的取法有310C种且每种取法等可能取得4白3黑2红的取法有2334410CCC故2431252)(6172334410CCCCAP8在1500个产品中有400个次品1100个正品任意取200个(1)求恰有90个次品的概率解用A表示取出的产品恰有90个次品在1500个产品中任取200个取法有2001500C种每种取法等可能200个产品恰有90个次品取法有110110090400CC种因此2001500110110090400)(CCCAP(2)至少有2个次品的概率解用B表示至少有2个次品B0表示不含有次品B1表示只含有一个次品同上200个产品不含次品取法有2001100C种200个产品含一个次品取法有19911001400CC种因为BB0B1且B0B1互不相容所以P(B)1P(B)1[P(B0)P(B1)]20015002001100199110014001CCCC9从5双不同鞋子中任取4只这4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？解样本空间所含的样本点数为410C用A表示4只全中至少有2支配成一对则A表示4只全不配对A所包含的样本点数为4452C(先从5双鞋中任取4双再从每双中任取一只)因此2182)(410445CCAP21132181)(1)(APAP10在11张卡片上分别写上Probabitity这11个字母从中任意连抽7张求其排列结果为Abitity的概率解所有可能的排列构成样本空间其中包含的样本点数为711P用A表示正确的排列则A包含的样本点数为411111111121211CCCCCCC则0000024.04)(711PAP11将3个球随机地放入4个杯子中去求杯子中球的最大个数分别为123解记Ai表示杯中球的最大个数为i个(i1,2,3)三只球放入四只杯中放法有43种每种放法等可能对A1必须三球放入三杯中每杯只放一球放法4×3×2种故1664234)(31AP对A2必须三球放入两杯一杯装一球一杯装两球放法有3423C种故169434)(3232CAP对A3必须三球都放入一杯中放法有4种16144)(33AP12将50只铆钉随机地取来用在10个部件其中有3个铆钉强度太弱每个部件用3只铆钉若将三个强度太弱的铆钉都装在一个部件上则这个部件强度就太弱问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解记A表示10个部件中有一个部件强度太弱把随机试验E看作是用三个钉一组三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序但10组钉铆完10个部件要分先后次序)对E铆法有323344347350CCCC种每种装法等可能对A三个次钉必须铆在一个部件上这种铆法数为10)(32334434733CCCC故00051.01960110][)(32334735032334434733CCCCCCCAP13已知3.0)(APP(B)045.0)(BAP求)|(BABP解7.0)(1)(APAP6.0)(1)(BPBPBAABBBAASA)(注意))((BAAB.故有2.05.07.)()()(BAPAPABP再由加法定理8.05.06.07.0)()()()(BAPBPAPBAP于是25.08.02.0)()()()]([)|(BAPABPBAPBABPBABP14已知41)(AP31)|(ABP21)|(BAP求P(AB)解根据条件概率)()|()()()()|(BPABPAPBPABPBAP61213141)|()|()()(BAPABPAPBP根据乘法公式1214131)()|()(APABPABP根据加法公式311216141)()()()(ABPBPAPBAP15掷两颗骰子已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)解法一(在缩小的样本空间SB中求P(A|B)即将事件B作为样本空间求事件A发生的概率)掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x,y)(x,y1,2,3,4,5,6)并且满足xy7则样本空间为S{(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}每种结果(x,y)等可能A{掷二骰子点数和为7时其中有一颗为1点}故3162)(AP解法二用公式)()()|(BPABPBAPS{(x,y)|x1,2,3,4,5,6;y1,2,3,4,5,6}每种结果均可能A“掷两颗骰子x,y中有一个为1点”B“掷两颗骰子xy7”则6166)(2BP262)(ABP故31626162)()()|(2BPABPBAP16据以往资料表明某3口之家患某种传染病的概率有以下规律P{孩子得病}0.6P{母亲得病|孩子得病}0.5P{父亲得病|母亲及孩子得病}0.4求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率解令A{孩子得病}B{母亲得病}C{父亲得病}则P(A)0.6P(B|A)0.5P(C|AB)0.4所以P(C|AB)1P(C|AB)10.40.6.P(AB)P(A)P(B|A)0.6×0.50.3,所求概率为P(ABC)P(AB)·P(C|AB)0.3×0.60.18.17已知在10只晶体管中有2只次品在其中取两次每次任取一只作不放回抽样求下列事件的概率(1)两只都是正品(2)二只都是次品(记为事件B)(3)一只是正品一只是次品(记为事件C)(4)第二次取出的是次品(记为事件D)解设Ai{第i次取出的是正品)(i12)(1)452897108)|()()(12121AAPAPAAP(2)45191102)|()()(12121AAPAPAAP(3))()()(21212121AAPAAPAAAAP)|()()|()(121121AAPAPAAPAP45169810292108(4))()(21212AAAAPAP519110292108)|()()|()(121121AAPAPAAPAP18某人忘记了电话号码的最后一个数字因而他随机地拨号(1)求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率(2)若已知最后一个数字是奇数那么此概率是多少？解设Ai{第i次拨号拨对}(i123)A{拨号不超过3次而拨通}则321211AAAAAAA且三种情况互斥所以)|()|()()|()()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAPAP于是(1)103819810991109101)(AP(2)53314354415451)(AP19(1)设甲袋中装有n只白球m只红球乙袋中装有N只白球M只红球今从甲袋中任取一只球放入乙袋中再从乙袋中任意取一只球问取到白球的概率是多少？解用A1表示“从甲袋中取得白球放入乙袋”A2表示“从甲袋中取得红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”因为BA1BA2B且A1A2互斥所以P(B)P(A1)P