概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1

1第一章事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命，解（1）},100,,1,0{nini其中n为班级人数（2）}18,,4,3{（3）},11,10{。（4）{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。（5）{(x,y)0x1,0y1}。（6）{tt0}。2．设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件，。（1）A发生，B与C不发生。（2）A与B都发生，而C不发生。（3）A，B，C中至少有一个发生。（4）A，B，C都发生。（5）A，B，C都不发生。（6）A，B，C中不多于一个发生。（7）A，B，C至少有一个不发生。（8）A，B，C中至少有两个发生。解（1）CBA，（2）CAB，（3）CBA，（4）ABC，（5）CBA，（6）CBCABA或（7）CBA，（8）BCACAB或ABCBCACBACAB3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。（1）BBABA（2）ABBA（3）ABBAB则若,（4）若ABBA则,（5）CBACBA（6）若AB且AC，则BC2解:(1)成立，因为BABBBABBA))((。(2)不成立，因为BABAAB。(3)成立，ABBBABABBAB,,,又。(4)成立。(5)不成立，因左边包含事件C，右边不包含事件C，所以不成立。(6)成立。因若BC≠φ，则因CA，必有BCAB，所以AB≠φ与已知矛盾，所以成立。图略。4．简化下列各式：（1）))((CBBA（2）))((BABA（3）))()((BABABA解:（1）BCBACABCBBA))((，因为BBCAB，所以，ACBCBBA))((。（2）BBBABAABABA))((，因为AABABA，BB且CC，所以))((BABAA。（3）))()((BABABAABABBAA)(。5．设A，B，C是三事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝41，,81)(,0)()(ACPBCPABP求A，B，C至少有一个发生的概率。解∵ABCAB∴0∠P(ABC)∠P(AB)=0，故P(ABC)=0∴所求概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)87008102141416．从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：（1）三位数是奇数；（2）三位数为5的倍数；（3）三位数为3的倍数；（4）三位数小于350。解设A表示事件“三位数是奇数”，B表示事件“三位数为5的倍数”，C表示事件“三位数为3的倍数”，D表示事件“三位数小于350”。基本事件总数为35AV，3(1)6.060363)(,3352424AAAPAVA；(2)2.060121)(,1352424AABPAVB；(3)4.06024!34)(,!3435AAPVC；(4)55.060332)(,235131324131324AAAADPAAAVD。7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解随机试验E为任意取9桶交与定货人，共有917C种交货方式。其中符合定货要求的有410C·34C·23C种，故所求概率为24312529172334410CCCCP8．在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。解（1）试验E为1700个产品中任取200个，共有2001700C种取法，其中恰有90个次品的取法为90500C·1101200C，故恰有90个次品的概率为20017001101200905001CCCP（2）设事件A表示至少有2个次品，B表示恰有1个次品，C表示没有次品，则A=S-(B∪C)，且BC=φ，B∪CS∴P(A)=P[S-(B∪C)]=P(S)-[P(B)+P(C)]20017002001200199120015001CCCC9．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。解VΩ=P10=10！，设所论事件为A，则VA=8！×3！067.0!10!3!8)(AP10．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解VΩ=C410，设A表示事件“4只鞋中至少有2只配成一双”，则A表示“4只鞋中没有2只能配成一双”。4先求出P(A)，再求P(A)。有利于A的情形共有!446810种（因为不考虑取4只鞋的次序，所以被4！除）。381.0218!446810)(410CAP故619.021132181)(1)(APAP另一解法：有利于事件A的总数为)(25252815是重复的数目CCCC619.02113)(410252815CCCCAP11．将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1，2，3的概率。解依题意知样本点总数为53个。以Ai(i=1,2,3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i”，则A1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有35A种放法，故25125)(3351AAPA2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为141523CCC种25125)(31415232CCCAPA3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有15C种放法，故2515)(3153CAP12．把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。解设所论事件为A，线段a被分成的三段长度分别用x，y和a-x-y表示，则样本空间Ω为：0＜x＜a，0＜y＜a，0＜x+y＜a，其面积为,2)(2aL而有利于A的情形必须满足构成三角形的条件，即.2,20,20ayxaayax5其面积为,)2(21)(2aAL25.04121)2(21)()()(22aaLALAP。13．甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。解设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x及y，则Ω为：0≤x≤24，0≤y≤24，∴L(Ω)=242，设所论事件为A，则有利于A的情形分别为：（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上，即y-x≥1或y≥1+x；（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上，即x-y≥2或y≤x-2；∴事件A应满足关系：y≥1+x，y≤x-2，L(A)22)224(21)124(21879.024)2223(21)()()(222LALAP。14．已知,21)(,31)(,41)(BAPABPAP求)(),(BAPBP。解由乘法公式知1214131)()|()(APABPABP)()|()(BPBAPABP∴612/112/1)|()()(BAPABPBP∴311216141)()()()(ABPBPAPBAP15．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率。（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解设以Ai(i=1,2)表示事件“第i次取出的是正品“，因为不放回抽样，故6（1）452897108)|()()(12121AAPAPAAP（2）45191102)|()()(12121AAPAPAAP（3）45169810292108)|()()|()()()()(12112121212121AAPAPAAPAPAAPAAPAAAAP（4）4599110292108)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP16．在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%，任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的概率大于0．95，认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？解设iA表示事件“第i次取出的钢筋是合格品”，则9896)(,9997)(,10098)(213121AAAPAAPAP所以95.09406.0)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP故这组钢筋不能用于做构件。17．某人忘记了密码锁的最后－个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？解设以Ai表示事件“第i次打开锁”（i=1,2,3），A表示“不超过三次打开”，则有321211AAAAAAA易知：321211,,AAAAAA是互不相容的。∴103819810991109101)|)()|()()|()()()()()()()(2131211211321211321211AAAPAAPAPAAPAPAPAAAPAAPAPAAAAAAPAP同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是53314354415451P18．袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。8个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概率各是多少个。解设以Ai(i=1,2,…8)表示事件“第i个人取到的是红球”。则41)(1AP7又因A2=2121AAAA，由概率的全概公式得4171827286)|()()|()()()()(12112121212AAPAPAAPAPAAPAAPAP类似地有)8,,4,3(41)(iAPi19．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合格品的概率是多少？解设A，B分别表示取出的第一件和第二件为正品，则所求概率为51)1()(1)()()()(2102621024AAAAABPBAPBAPBAPBABAP20．对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为0．9，达到600#的概率为0.3，现取一水泥块进行试验，已达到500#标准而未破坏，求其为600#的概率。解设A表示事件“水泥达到500#”，B表示事件“水泥达到600#”。则P(A)=0.9,P(B)=0.3,又AB,即P(AB)=0.3,所以319.03.0)()()(APABPABP。21．以A，B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P（A）＝0.35，P（B）＝0.30，并知条件概率为P（AB）＝0.15，试求：（1）两个区同时发生停止供水事件的概率；（2）两个区至少有一个区发生停水事件的概率。解（1）由题设，所求概率为045.015.03.0)()()(BAPBPABP；（2）所求概率为60