概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

第五章大数定律与中心极限定理1.设随机变量的方差为2.5。利用契贝雪夫不等式估计：5.7||EP的值。解：由契贝雪夫不等式：2}|{|DEP，又已知5.7,5.2D，故044.05.75.2}5.7|{|2EP。2.已知某随机变量的方差D=1，但数学期望E=m未知，为估计m，对进行n次独立观测，得样本观察值1，2，…，n。现用niipmPmnn15.0||1多大时才可能使问当估计，。解：因niimEnE1,1又1，2，…，n相互独立，故niniiinDnnDD1121)(1)1(，根据契贝雪夫不等式，有25.01}5.0|{|DEP，即nmP41}5.0|{|，再由pnpn14,41得。3.设在由n个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。设m表示在这n次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率mn与开电概率p=0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n应该是多少？解：欲使99.0}01.0|{|pnmP，即99.0}//01.0//|{|npqnpqpnmP，亦即，则t~N(0，1)且有,99.001.0pqntP由58.201.0995.0)58.2(pqn，以p=q=1/2代入可得n=16641。4.用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？解：用n步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n次射击的独立试验，令表示n次射击击中目标的次数，则服从参数为n，p=0.005的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得nnnnPpnpnppnpnpPP004975.0005.02004975.0005.0)1(2)1(}2{99.0004975.0005.021nn，查表得n≈1791。5.随机变量表示对概率为p的事件A做n次重复独立试验时，A出的次数。试分别用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n：PnpD1299%解：记n，由于~B(n，p)，故E=np，E=p，2/nDD。(1)根据契贝雪夫不等式，有2241)2/(1}21|{|21nDDDEPDpnP，为使%99412n，解得20n；(2)以i表示每次试验时A出现的次数，则i服从参数为p的二点分布，且Ei=p，Di=p(1-p)1/4，而niinn1是n个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知)1,0(~NDE，因此有DpnP21122222/nDDDDDEP，为使6,16.5,99.0122nnn即查表得。6.一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。解：定义承机变量.,0,,1鸡只鸡蛋不能育成种第鸡只鸡蛋能育成种第kkk)10000,,2,1(k。则k)10000,,2,1(k是独立同分布的，且756.09.084.0}1{kP，224.0756.01}0{kP。显然100001kk表示10000只鸡蛋中能育成种鸡的个数。此为n=10000，p=0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{pnpnppnpnppnpnpPP。7.某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。解：令.,0,,1个字未排错第个字排错第iii则500001ii是服从参数n=50000，p=0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得9874.0)24.2()1(101)1(10)1(}10{pnpnppnpnppnpnpPP。8.某班班会为学校主办一次周末晚会，共发出邀请书150张，按以往的经验，接到邀请的人中大体上能有80%可到会，试求前来参加晚会的人数在110到130之间的概率。解：令.,0,,1封邀请信的人不到会接到第封邀请信的人到会接到第iii则i服从参数p=0.8的二项分布。且Ei=0.8，Di=0.16，1501ii表示到会的总人数，则24,120DE，由中心极限定理得241201302412024120110}130110{PP9586.01)04.2(204.2241024120P。9.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：(1)以表示100人中治愈人数，则~b(100,0.8)所求概率为2.08.01008.0100752.08.01008.010075PP8944.025.11；(2)依题~b(100,0.7)则3.07.01007.0100753.07.010070.010075PP1379.08621.0109.11。