概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布

1§2.3随机变量函数的分布1.X是离散型随机变量2.X是连续型随机变量2在许多实际问题中，常常需要研究随机变量的函数。例如：☆测量圆轴截面的直径d，而关心的却是截面积由于测量的误差，d为随机变量，S就是随机变量d的函数☆在统计物理中，已知分子的运动速度X的分布，求其动能的分布。241dS221mXS3一般地，设y=f(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=f(x)的定义域内，则Y=f(X)也为一随机变量。41.X是离散型随机变量设随机变量X的分布列为Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…则函数Y=g(X)是离散型随机变量，可能的取值是g(x1),g(x2),…,g(xk),…(k=1,2,…,n,…).则Y=g(X)的概率分布为：5(1)若g(xk)互不相同，则事件{Y=yi=g(xi)}等价于事件{X=xi}，从而Y=g(X)的概率分布为：Yg(x1)g(x2)…g(xk)…P(Y=yi)p1p2…pk…6(2)若某些g(xi)相同，比如g(xi1)＝g(xi2)＝…=g(xil)=yi,(i=1,2,…)则事件{Y=yi=g(xi)}等价于事件{X=xi1}∪{X=xi2}∪…∪{X=xil}从而有：lkikiliiixXPxXPxXPxXPyYP121)()(...)()()(7步骤：1.确定Y的取值y1,y2,…,yi,…2.求概率P(Y=yi)=pj3.列出概率分布表8X01234P1/121/61/31/121/3Y-11357P(Y=yi)1/121/61/31/121/3例2.3.1设随机变量X的分布列如下表，试求Y=2X-1和Y=(X-1)2的分布列.解(1)因为y=2x-1严格单调，所以yi(i=1,2,…,5)互不相同，Y所有可能取的值为-1,1,3,5,7.故Y的分布列为：9Y0149P(Y=yi)1/61/12+1/31/121/3(2)因为Y=(X-1)2的取值分别为1,0,1,4,9.故Y的分布列为：10例设X~B(2,0.3)，求下列随机变量的分布列1.Y1=X22.Y2=X2-2X3.Y3=3X-X2解X的概率分布为.2,1,0,7.03.0)(22kCkXPkkkX012Y1=X2014Y2=X2-2X0-10Y3=3X-X2022P0.490.420.09Y1014P0.490.420.09Y2-10P0.420.58Y302P0.490.51则Y1，Y2，Y3的分布列分别为11为奇数为偶数xxxxf,10,0,1)(0120)!12()12()1(kkkekkXPYP121)!2()2()1(kkkekkXPYP-λeXPYP)0()0(例设X服从参数为λ的泊松分布，试求Y=f(X)的分布列.其中解易知Y的可能取值为-1,0,1，且有122.X是连续型随机变量设X为连续型随机变量，已知其分布函数FX(x)和密度函数fX(x)，随机变量Y=g(X)，要求Y的分布函数FY(y)和密度函数fY(y).步骤：(1)由Y=g(X)的分布函数这里G={x|g(x)y}(2)求导数得Y=g(X)的概率密度为fY(y)=F'Y(y)GYdxxfGXPyXgPyYPyF)()())(()()(注：解g(x)≤y时要考虑y的不同取值范围13例设随机变量，求X的线性函数的密度函数),(~2NX是常数）（babaXY,0解先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数:)()()(ybaXPyYPyFY0),(1)(0),()(aabyFabyXPaabyFabyXPXX　若　　若14从而，求导数得：0,1)(0,1)()()(aaabyfaaabyfdyydFyfXXYY　若　　若)(1abyfaXyeaeaabayaby21212222)(2)]([2)(15由此得到服从正态分布的随机变量的一个重要性质：若随机变量),(~2NX则),(~22abaNbaX16定理2.3.1设连续型随机变量X具有概率密度函数fX(x)，又设函数y=g(x)是x的单调函数，其反函数g－1(y)有连续导数，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度函数为:其它0|)]'([|)]([)(11yygygfyfXY其中))(),(max(,))(),(min(gggg17证(1)g(x)严格单调增加时，此时其反函数g－1(y)在(α,β)也严格单调增加，则)}({~})({~}{1ygXyXgyY故))(())(())(()()(11ygFygXPyXgPyYPyFyXY时，;0)()(yYPyFyY时，.1)()(yYPyFyY时，于是得Y的概率密度：其它0|)]'([|)]([)(11yygygfyfXY18(2)g(x)严格单调减小时，此时其反函数g－1(y)在(α,β)也严格单调减小，则)}({~})({~}{1ygXyXgyY故))(()()(yXgPyYPyFyY时，;0)()(yYPyFyY时，.1)()(yYPyFyY时，注意，此时0)]'([1yg))((1))((11ygXPygXP))((1))((111ygFygXPX19于是得Y的概率密度：其它0|)]'([|)]([)(11yygygfyfXY综合上述两种情况，定理成立.20例设随机变量X的概率密度函数为000)(xxexfx求随机变量Y=X2的概率密度函数。解先求Y的分布函数FY(y)=P(Yy)=P(X2y),当y=0时，FY(y)=0当y0时，{Yy}为不可能事件，此时FY(y)=0当y0时，)()X()(2yXyPyPyFYyyyxdxedxxf0)(ye1所以Y的概率密度函数为00021)(yyeyxfy21例设随机变量求的密度函数.)1,0(~UX122XY解X的取值范围为(0,1)，从而Y的取值范围为(1,3)当1y3时，Y的分布函数为)12()()(2yXPyYPyFY)2121(yXyP)21()21(yFyFXX22由于x0时0)(xFX从而0)21(yFX因此当1y3时，)21()(yFyFXY而Y1和Y3是不可能事件，从而有其他　　　，　，　其他，　，　0311420311221)21()(yyyyyfyfXY23例设随机变量X的概率密度函数为)1(1)(2xxfX求的概率密度.解y=ex单调可导，,0xey且其值域为y0反函数为x=g(y)=lny所以，y0时)ln1(1|1|][ln|)('|)]([)(2yyyyfygygfyfXXYyyg1)('故其它00)ln1(1)(2yyyyfYXeY24例设随机变量X具有概率密度求随机变量Y=2X+8的概率密度解先求Y=2X+8的分布函数FY(y)40,8,0)(xxXxf其他)82()()(yXPyYPyFY28)()28(yXdxxfyXP25于是得Y=2X+8的概率密度为：'')28)(28()()(yyfyFyfXYY其它，，其它0168,040,32828212881yyyy26例2.3.4设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度由于故当y0时，FY(y)=P(Yy)=0xxfX,)(解先求Y=X2的分布函数FY(y)02xy当y=0时，FY(y)=P(Yy)=P(X2≤0)=P(X2=0)=027当y0时有于是得Y的概率密度为：yyXYdxxfyXyPyXPyYPyF)()()()(20,00,)()(0,00]d)(d)([)(')(2100yyyfyfyyxxfxxfyFyfXXyyXyXYY，28特别地，若X~N(0,1)，其概率密度为：则Y=X2概率密度函数为xexx,21)(220,00,)(22121yyeyyfyY