概率论与数理统计-第二与三章练习详细答案

1《概率论与数理统计》第二、三章练习一、单项选择题1.设)(1xF与)(2xF分别为随机变量1X与2X的分布函数，为使)()()(21xbFxaFxF是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取A(A)52,53ba(B)32,32ba(C)23,21ba(D)23,21ba解答：因为12()()()1FaFbF(F(x)是分布函数，所以有上述等式成立)所以有111ab，故选A。2.设随机变量X的分布函数11102100)(xexxxFx，则}1{XPC(A)0(B)21(C)121e(D)11e解答：因为{}()(0)PXaFaFa，其中(0)lim()xaFaFx，将a=1代入，可知答案为C。3.设)(x为标准正态分布的概率密度函数，)(xf为]3,1[上均匀分布的概率密度函数，若0)(0)()(xxbfxxaxg（0,0ba）为概率密度函数，则ba,应满足A(A)432ba(B)423ba(C)1ba(D)2ba解答：由概率密度的性质知()1.gxdx而0300113()()()(0)1424gxdxaxdxbfxdxabdxab，故知答案为A。4.设随机变量X服从正态分布),(2N，则随的增大，概率}|{|XPC(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定解答：{||}{}{}(1)(1)2(1)1XPXPXP故选C。5.假设随机变量X服从指数分布，则随机变量}2,min{XY的分布函数D(A)是连续函数(B)至少有两个间断点(C)是阶梯函数(D)恰好有一个间断点解答：首先求出Y的分布函数。当0,Y(){}0,FYPYy当2,Y(){}1,FYPYy当02,Y(){}{min{,2}}{}{2}1yFYPYyPXyPXyPye所以分布函数为00()10212yyFyeyy,从分布函数可以看到1为其的一个间断点，其他全部点均为连续的。故选D。26.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：21}1{}1{YPXP，}1{XP21}1{YP，则下列各式中成立的是A(A)21}{YXP(B)1}{YXP(C)41}0{YXP(D)41}1{XYP解答：11111{}{1,1}{1,1}22222PXYPXYPXY故选A。7.设随机变量412141101~iX（2,1i），且满足1}0{21XXP，则}{21XXPA(A)0(B)41(C)21(D)1解答：因为1}0{21XXP，所以12{0}0PXX从而1212{1}{1}0PXXPXX12121212{00}{0}{0}{0}{0}PXXPXXPXPXPXX从而12{0}PXX=0.故12{}0PXX8.设随机变量),(YX服从二维正态分布且X与Y相互独立，)(xfX，)(yfY分别表示X、Y的概率密度，则在yY的条件下，X的条件概率密度)|(|yxfYX为D(A))()(yfxfYX(B))()(yfxfYX(C))(yfY(D))(xfX解答：|(,)(|)()XYYfxyfxyfy，又因为X与Y相互独立，所以(,)()()XYfxyfxfy，从而|()()(,)(|)()()()XYXYXYYfxfyfxyfxyfxfyfy9.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布)1,0(N，Y的概率分布为}0{YP21}1{YP，记)(zFZ为随机变量XYZ的分布函数，则函数)(zFZ的间断点个数为B(A)0(B)1(C)2(D)3解答：求出Z的分布函数，即可知道间断点。()()()(0)(|0)(1)(|1)ZFzPZzPXYzPYPXYzYPYPXYzY=11(0|0)(1|1)22PXzYPXzY故，当z小于0时，11()(1)()22ZFzPXzz，当z大于等于0时111()(0|0)(1|1)(1())222ZFzPXzYPXzYz，因为标准正态分布函数为连续函数，故z=0为其间断点。310.设随机变量X服从正态分布),(211N，随机变量Y服从正态分布),(222N，且}1|{|}1|{|21YPXP，则必有A(A)21(B)21(C)21(D)21解答：由第4题知，111{||1}2()1PX，221{||1}2()1PY.因为}1|{|}1|{|21YPXP，即121211112()12()1,()().因为()x是分布函数，故其为单调不减的函数，从而1211二、填空题（每小题2分，共10分）1.设随机变量X的概率密度为其他063921031)(xxxf，若k使得32}{kXP，则k的取值范围是2{}()3kPXkfxdx，因为632293dx，由f(x)知道，k属于]3,1[2.设随机变量X服从二项分布),2(pB，随机变量Y服从二项分布),3(pB，若95}1{XP，则}1{YP解答：002251{1}1{0}1(1)93PXPXCppp，故003319{1}1{0}1(1)27PYPYCpp3.设二维随机变量),(YX的概率分布为若随机事件}0{X与}1{YX相互独立，则a，b解答：由分布律知道a+b+0.5=1，故可以得a+b=0.5.因为随机事件}0{X与}1{YX相互独立，所以{{0},{1}}{0,1}{0}{1}PXXYPXYPXPXY得到a=（0.4+a）（a+b）得到a=0.4，b=0.14.在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2aN。若以nX表示n次称量结果的算术平均值，则为使95.0}1.0|{|aXPn，n的最小值应不小于自然数XY0100.4a1b0.14解答：nX服从正态分布，其参数为20.2(,)Nan因为95.0}1.0|{|aXPn，故20.1{||0.1}2()10.950.2nPXan，即()0.9752n，从而1.962n，从而可得n=16.5.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间]3,0[上的均匀分布，则}1},{max{YXP1100111{max{,}1}{1,1}{1}{1}339PXYPXYPXPYdxdy7.设二维离散型随机变量),(YX的概率分布如右图，试求：（1）分别关于、XY的边缘概率分布,并判断X与Y的独立性；（2）在1X的条件下Y的条件分布律；（3）随机变量22YXZ的概率分布。【解】（1）X－301Y－2－10ip612131jp414121因为}2{}1{}2,1{YPXPYXP，所以X与Y不独立。（2）jyY－2－10}1|{XyYPj04143（3）22YXZ－6－5－2012346p12101211221221231211220四、综合与应用题（每题7分，共14分）1.两台同样的自动记录仪（相互独立），每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布。若先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度)(tf。解答：设第一台工作时间为1T，第二台工作时间为2T，从而12TTT，下求总时间T的概率密度)(tf。因为每台工作独立，且服从参数为5的指数分布。故12550()()00tTTetftftt，从而12111()()()TTftftfttdt1155()5105525000ttttteedttett2.来某城市的旅游者其消费额X（单位：元）服从正态分布)100,1800(2N，试求：5（1）某旅游者消费额在1700～2000元的概率1p；（2）8个旅游者中至多有一人消费额在1700～2000元的概率2p。【解】（1）)1()2()10018001700()10018002000(}20001700{1XPp8185.01)1()2(（2）2p711118810108)1()1(ppCppC