概率论与数理统计-第四与五章练习答案

1《概率论与数理统计》第四、五章练习学院班级、学号姓名成绩一、单项选择题（每小题2分，共16分）说明：请将答案直接填入下表中！12345678ACDDDCCC1.将一枚硬币重复投掷n次，以X与Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于(A)1(B)0(C)21(D)12.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则DYDXYXD)(是X和Y(A)不相关的充分条件，但不是必要条件(B)独立的充分条件，但不是必要条件(C)不相关的充分必要条件(D)独立的充分必要条件3.设X是一个随机变量，EX，2DX(0,为常数)，则对任意常数c，必有(A)222)(cEXcXE(B)22)()(XEcXE(C)22)()(XEcXE(D)22)()(XEcXE4.设随机变量X和Y独立同分布，方差存在且不为零，记YXU，YXV，则随机变量U与V必然(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零(D)相关系数为零5.假设随机变量)1,0(~NX，)4,1(~NY，且相关系数1XY，则(A)1}12{XYP(B)1}12{XYP(C)1}12{XYP(D)1}12{XYP6.设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则(A)X与Y一定独立(B)),(YX服从二维正态分布(C)X与Y未必独立(D)YX服从一维正态分布7.设随机变量nXXX,,,21)1(n独立同分布，且其方差为02，令随机变量niiXnY11，则(A)212)(nnYXD(B)211)(nnYXD(C)nYXCov21),((D)21),(YXCov8.设,,,,21nXXX为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为)1(的指数分布，记)(x为标准正态分布的分布函数，则D(A))(lim1xxnnXPniin(B))(lim1xxnnXPniin(C))(lim1xxnnXPniin(D))(lim1xxnXPniin二、填空题（每小题2分，共14分）1.设随机变量X的服从参数为的指数分布，则}{DXXP1e22.设随机变量X服从二项在区间]2,1[上服从均匀分布，随机变量010001XXXY，则方差DY983.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则}{2EXXP121e4.设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，当p时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为21，55.设随机变量321,,XXX相互独立，其中1X在]6,0[上服从均匀分布，2X服从正态分布)2,0(2N，3X服从参数为3的泊松分布，记32132XXXY，则DY466.设随机变量X和Y的相关系数为0.5，0EYEX，222EYEX，则2)(YXE67.设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0，则根据切比雪夫不等式}6|{|YXP121三、解答题（每题7分，共49分）1.设随机变量X服从区间],[ba上的均匀分布，2EX，3DX，求条件概率}2|0{XXP【答】5,1ba；322.设连续型随机变量X的概率密度为其他0103)(2xxxfX，试求：（1）随机变量X的分布函数)(xFX；（2）数学期望EX与方差DX；【解】（1）111000)(3xxxxxFX（2）43EX；532EX，803)(22EXEXDX3.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数)(yF。【答】2120100)(5yyeyyFy34.设BA,为两个随机事件，且41)(AP,31)|(ABP，21)|(BAP，令不发生发生AAX01，不发生发生BBY01求：（1）二维随机变量),YX（的概率分布；（2）X与Y的相关系数XY；（3）22YXZ的概率分布。【答】（1）XY0102/31/1211/61/12（2）151XY（3）Z012P2/31/41/125.设随机变量X和Y的联合分布在以点)1,0(，)01(，，），（11为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量YXZ的方差。【解】181DZ四、综合与应用题（每题10分，共20分）1.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？【解】设一周5个工作日内发生故障的天数为X,则)2.0,5(~BX又设一周内所获利润Y(万元)，则20896.505792.022048.004096.0532768.010EY（万元）2.某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20﹪，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。（1）试写出随机变量X的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值。【解】（1）设在抽查的100个索赔户中，被盗户数为X，则X可以看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此)2.0,100(bX～，故X的概率分布为：iiiCiXP1001008.02.0}{（100,,2,1,0i）（2）被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件}3014{X的概率，由中心极限定理得8.02.01002.0100148.02.01002.010030}3014{XP927.01)5.1()5.2()5.1()5.2(五、证明题（本题10分）1.对于任意二事件A和B，1)(0AP，1)(0BP，)()()()()()()(BPAPBPAPBPAPABP称为事件A与B的相关系数。4（1）证明：事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零。（2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明1||。【提示】（1）略；（2）考虑随机变量X和Y：不发生发生AAX01，不发生发生BBY01易见，)(,)(BPEYAPEX；)()(,)()(BPBPDYAPAPDX)()()(),(BPAPABPYXCov