概率论与数理统计B(04秋)试卷A与答案

03级全校各专业《概率论与数理统计》(04秋)期末考试题A卷备注：1.第一题只填结论,其余各题必须要有解题步骤,否则不予给分.2.要求卷面整洁清晰,字迹清楚,解题步骤完整.一．填空题（每空2分，共20分）1.设有随机变量Ai(i=1,2,…,n),niiAA1,则A的对立事件A=.2.设A和B为相互独立的随机事件，P（A）=31，P（A∪B）=32，P（B）=.3.设随机变量X服从二项分布,即X～b(n,p),则分布律P｛X=m｝=.4.设随机变量X服从正态分布,其概率密度为10)1(2101)(xexf,x.则其标准差DX=.5.二维随机变量（X,Y）的协方差Cov(X,Y)=0.36,且DX=0.81,DY=0.64.则其相关系数),(YX=.6.设随机变量X～N(0,1),已知)2.2(=0.9861,则P{2.2X}=.7．设随机变量X～F(6,12),已知)6,12(,10)12,6(995.0005.0FF则=.8.设总体X,且E(X)=,今有简单随机样本niiinXXXX1221)(,,,,而(其中2i是常数)是数学期望E(X)的无偏估计量,则nii12=.9.设离散型随机变量X具有概率分布律X-10123p0.10.3a0.10.3则常数a=_____.10设总体X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=2.21,XX是总体的样本，又设,3231211XX,4341212XX,2121213XX都是总体数学期望E(X)的无偏估计量,则1、2、3中最有效的估计量是_____.二．计算题（每题6分，共36分）1.某厂生产的电子元件中有4%的产品不合格，又在100件合格品中有75件一等品，试求从该厂生产的电子元件中任取一件产品是一等品的概率.2.甲、乙、丙三人独立去破译密码,已知甲、乙、丙各自能译出密码的概率分别是413151、、.问三人中至少一人能将此密码译出的概率是多少?3.在一个口袋中装有标号为1、2、3、4、5的五只球，今从中任取3只球，X表示取出的球中最大号码，试写出随机变量X的概率分布律.4.设二维离散型随机变量（X,Y）的联合概率分布律为YX-112-12205202206203203201求:X+Y和XY的概率分布律.5.设随机变量X具有概率分布律求:E(X);E(X2);D(X).6.设随机变量X的概率密度为.,0,10,2)(其它xxxf求随机变量X的分布函数.三.计算题（每题8分，共16分）1.设随机变量X概率密度函数是.,0,11),1(3)(2其它xxcxf求:(1)常数c;(2)P{01X};(3)D(X).X-202p0.40.30.32.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度是.,0,10,20,)(2其它yxcxyxf求:(1)常数c;(2)关于X和Y的边缘概率密度;(3)X和Y是否相互独立?为什么?四.计算题（每题8分，共24分）1.设随机变量X的概率密度函数是.,0,10,)1()(其它xxxf今有一组样本观测值.,,21nxxx用极大似然法估计参数的值.2.从一批保险丝中任抽取9根,测得熔化时间分别是65,75,78,87,68,80,54,65,67(秒),设这批保险丝的熔化时间服从正态分布N(,4),试求参数的置信度为95%的双侧置信区间.3.某厂用自动包装机包装白糖，规定每袋糖标准重量为100千克,假设包装机包装白糖的重量服从正态分布.某天开机后，为检查其机器工作是否正常，从装好的白糖中任抽取9袋，测得其重量是:(千克)99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,102.1,100.5,99.5,样本方差2s=1.问：这一天包装机工作是否正常？（显著性水平=0.05）五.证明题（共4分）设随机事件A和B相互独立.证明:事件A与B的对立事件B也相互独立.参考数据:,65.105.0Z,96.1025.0Z,8331.1)9(05.0t,2622.2)9(025.0t,8595.1)8(05.0t,3060.2)8(025.0t,919.16)9(205.0,023.19)9(2025.0,507.15)8(205.0,535.17)8(2025.0,325.3)9(295.0,700.2)9(2975.0,733.2)8(295.0.180.2)8(2975.0《概率论与数理统计B》（04秋）A卷参考答案及评分标准一、填空题（每空2分，共20分）1、iniAU1；2、1/2；3mnmmnppC)1((m=0,1,…,n)；4、5；5、1/2；6、0.9722；7、1/10；8、1；9、0.2；10、3二、计算题（每题6分，共36分）1、设A表示一等品，B表示合格品（1分）则P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)（3分)=1007510096=10072=0.72（2分）2、设A、B、C分别表示甲、乙、丙破译密码（1分）则P(A∪B∪C)=1-P(___________AUBUC)=1-P(CBA)（3分）=1-544332=53（2分）3、设随机变量为X，则X的可能取值有3、4、5（1分）则P（X=3）=C351=101（1分）P（X=4）=103（1分）P（X=5）=106（1分）故（2分）Z345p1/103/106/104、X+Y-20134p5/202/209/203/201/20（3分）XY-2-1124p9/202/205/203/201/20（3分）5、E（X）=-0.2（2分）；E（X2）=2.8（2分）；D（X）=2.76（2分）.6、（1）当x0)(0xF时，（1分）（2）当xxtdtxFx022)(10时，（1分）（3）当x1时,)(xF=1(1分)故)(xF=1,110,0,02xxxx(3分)三、计算题（每题8分，共16分）1、（1）因为1=,4)1(3)(112cdxxcdxxf所以c=1/4(2分)（2）p21)1(43)(0120101dxxdxxfX(2分)（3）因为E(X)=,0)1(11243dxxx(1分)E(2X)=,51)1(112243dxxx(1分)所以D（X）=51)()(22XEXE（2分）2、（1）因为1=,),(32cdxdyyxf所以c=3/2（2分）因此.,0,10,20,23),(2其它yxxyyxf(2)因为)(xfX=,20,),(21xxdyyxf所以.,0,20,21)(其它xxxfX（2分）又因为)(yfY=,10,3),(2yydxyxf所以.,0,10,3)(2其它yyyfY（2分）（3）因为),(yxf)(xfX)(yfY,所以X与Y相互独立.（2分）四、计算题（每题8分，共24分）1、10,)()1(])1[()()(111xxxxfLniinniinii（2分）niixnL1ln)1ln()(ln（2分）1)(lnndLdniix1ln=0（2分）解之，得11lnˆ1niixn（2分）2、已知.05.0,2又因719191iixx（2分）故Z=nX~N（0，1）（2分）P{2ZnX}=1-，即22ZnXZnX（2分）代入数据，得所求区间为69.69372.307（2分）3、假设0100:)100(:HH（2分）因未知，故选取统计量)1(~0ntnSX（2分）P1)1(20ntnSX故原假设0H的接受域为：)1(20ntnSX（2分）已知n=9，又98.99,1,05.02xs02.0,3060.2)8(0025.0Xt代入数据得：0.027687.0313060.231)8(025.0t（1分）因此接受原假设0H，即该天包装机工作正常。（1分）五、证明题（共4分）证明：因为BA=)(BA=A-AB且ABA（1分）所以BAP(）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=P（A）-P（A）P（B）=P（A）)(1BP=P（A）P（B）（2分）所以事件A与事件B互相独立。（1分）