概率论与数理统计_方差分析

第10章方差分析在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。§10.1单因素方差分析仅考虑一个因素A对试验指标有无显著影响，可以让A取r个水平：rAAA,,,21，在水平iA下进行in次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ijx列于下表：序号水平12…in1A2ArA11x12x…11nx21x22x…22nx1rx2rx…rrnx并设在水平iA下的数据iiniixxx,,21来自总体),(~2iiNX，),,2,1(ri。检验如下假设：rH210:，rH,,,:211不全相等检验统计量为),1(~)/()1/(rnrFrnSrSFeA其中21211)()(xxnxxSiriirinjiAi，称为组间差平方和。211)(irinjijexxSi，称为组内差平方和。这里riinn1，injijiixnx11，rinjijixnx111。对于给定的显著性水平)05.001.0(或，如果),1(rnrFF，则拒绝0H，即认为因素A对试验指标有显著影响。实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：baxxijij再进行计算，不会影响F值的大小。为了计算方便，通常采用下面的简便计算方式。记),,2,1(1rixTinjiji，rinjijixT11则有nTnTSriiiA212，riiirinjijenTxSi12112结果列于下面的方差分析表。方差来源平方和自由度均方F值因素AAS1r)1/(rSA)/()1/(rnSrSFeA误差EeSrn)/(rnSe总和AS+eS1n例1下表给出在30只小白鼠身上接种三种不同菌型的伤寒病菌后的存活日数：菌型接种后的存活日数ⅠⅡⅢ23324772545685107126671166795106310试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？解：30,11,9,10,3321nnnnr184,80,65,39321TTTT43.70AS，74.137eS49.5)27,2(90.601.0FF，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。方差来源平方和自由度均方F值因素A70.43235.226.90误差E137.74275.10总和208.17§10.2双因素方差分析同时考察两个因素A和B对试验指标有无显著影响，可以让A取r个水平：rAAA,,,21，让B取s个水平：sBBB,,,21，在各种水平配合),(jiBA下进行试验，称为双因素试验。一、无交互作用的双因素方差分析在每一种水平配合),(jiBA下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ijx列于下表：因素B因素A1B2B…sB1A2ArA11x12x…sx121x22x…sx21rx2rx…rsx并设在水平配合),(jiBA下的数据ijx来自总体),(~2ijijNX，),,2,1;,,2,1(sjri。检验如下假设：rAH210:，rAH,,,:211不全相等rBH210:，rBH,,,:211不全相等分别用如下检验统计量))1)(1(,1(~)1)(1/()1/(srrFsrSrSFeAA))1)(1(,1(~)1)(1/()1/(srsFsrSsSFeBB其中21211)()(xxsxxSiririsjiA，称为A的组间差平方和。21211)()(xxrxxSjsjrisjjB，称为B的组间差平方和。211)(xxxxSjirisjije，称为组内差平方和。这里sjijixsx11，riijjxrx11，risjijxrsx111。对于给定的显著性水平)05.001.0(或，如果))1)(1(,1(srrFFA，则拒绝AH0，即认为因素A对试验指标有显著影响；如果))1)(1(,1(srsFFB，则拒绝BH0，即认为因素B对试验指标有显著影响。实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：baxxijij再进行计算，不会影响BAFF,值的大小。结果列于下面的方差分析表。方差来源平方和自由度均方F值因素AAS1r)1/(rSA)1/(sSSFeAA因素BBS1s)1/(sSB)1/(rSSFeAB误差EeS)1)(1(sr)1)(1/(srSe总和AS+BS+eS1rs例1为了解三种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的仔猪各选3头进行试验，分别测得其一段时间体重增加量，如下表所示（A代表饲料，B代表品种）：因素B因素A1B2B3B1A2A3A515645535749525847试分析不同饲料与不同品种对仔猪的生长有无显著影响？解：所有数据减去50后计算结果如下：3,3sr33.2,3,66.0321xxx2,3,7,2321xxxx33.3,150,66.8eBASSS94.6)4,2(20.505.0FFA，说明不同饲料对仔猪的生长无显著影响。0.18)4,2(0.9001.0FFB，说明品种的差异对仔猪生长的影响高度显著。方差来源平方和自由度均方F值因素A8.6624.335.20因素B15027590.0误差E3.3340.83总和161.998二、有交互作用的双因素方差分析在每一种水平配合),(jiBA下重复作)2(mm次试验，称为有交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ijkx列于下表：试验结果因素B1B2B…sB因素A1A2ArAmxxx11112111mxxx21212211mrrrxxx11211mxxx12122121mxxx22222221mrrrxxx22221………smssxxx12111smssxxx22212rsmrsrsxxx21并设在水平配合),(jiBA下的数据ijmijijxxx,,,21来自总体),(~2ijijNX，),,2,1;,,2,1(sjri。检验如下假设：rAH210:，rAH,,,:211不全相等rBH210:，rBH,,,:211不全相等ijABH:0全相等，ijABH:1不全相等分别用如下检验统计量))1(,1(~)1(/)1/(mrsrFmrsSrSFeAA))1(,1(~)1(/)1/(mrssFmrsSsSFeBB))1(),1)(1((~)1(/)1)(1/(mrssrFmrsSsrSFeABAB其中212111)()(xxmsxxSiririsjimkA，称为A的组间差平方和。212111)()(xxrmxxSjsjrisjjmkB，称为B的组间差平方和。2111)(xxxxSjirisjijmkAB211)(xxxxmjirisjij，称为BA的组间差平方和。2111)(ijrisjijkmkexxS，称为组内差平方和。这里sjijkmkixsmx111，riijkmkjxrmx111，mkijkijxmx11，risjijkmkxrsmx1111。对于给定的显著性水平)05.001.0(或，如果))1(,1(mrsrFFA，则拒绝AH0，即认为因素A对试验指标有显著影响；如果))1(,1(mrssFFB，则拒绝BH0，即认为因素B对试验指标有显著影响；如果))1(),1)(1((mrssrFFAB，则拒绝ABH0，即认为因素A与因素B之间的交互效应对试验指标有显著影响。实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：baxxijkijk再进行计算，不会影响ABBAFFF,,值的大小。结果列于下面的方差分析表。方差来源平方和自由度均方F值因素AAS1r)1/(rSA)1(/)1/(mrsSrSFeAA因素BBS1s)1/(sSB)1(/)1/(mrsSsSFeBB交互A×BABS)1)(1(sr)1)(1/(srSAB)1(/)1)(1/(mrsSsrSFeABAB误差EeS)1(mrs)1(/mrsSe总和AS+BS+ABS+eS1rsm例2考察合成纤维弹性影响因素为拉伸倍数A与收缩率B。A与B各取4个水平，每个水平配合下做2次试验，结果数据见下表：试验结果因素B1B（0）2B（4）3B（8）4B（12）因素A1A（460）2A（520）3A（580）7173727375737375767478777673797774757573737270714A（640）7773747474736969试分析因素A、因素B对合成纤维弹性的影响是否显著？以及因素A与因素B之间的交互效应对合成纤维弹性的影响是否显著？解：2,4,4msr50.21,20.80,66.69,86.8eABBASSSS24.3)16,3(95.205.0FFA，说明拉伸倍数A对合成纤维弹性无显著影响。29.5)16,3(22.2301.0FFB，说明收缩率B对合成纤维弹性的影响高度显著。78.3)16,9(91.801.0FFAB，说明因素A与因素B之间的交互效应对合成纤维弹性的影响高度显著。方差来源平方和自由度均方F值因素A8.8632.952.95因素B69.66323.2223.22交互A×B80.2098.918.91误差E21.50161.34总和180.2231