概率论与数理统计—第四章随机变量的数字特征

沈阳大学科技工程学院教案课程名称：工程数学——概率论与数理统计编写时间：2012年8月10日第次第1页授课章节第四章随机变量的数字特征目的要求掌握期望与方差的概念，熟练掌握计算期望与方差的方法重点难点随机变量函数的期望和方差第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数．§1数学期望一、数学期望的定义先看一个例子，某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为7.19100)102156203019218217(或22305610171819202119.7100100100100100我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。而1718192021195是把这五个数的地位或权重看得相同。对于一般随机变量，其平均值定义如下：定义设离散型随机变量X的分布律为{}kkxpPX，k=1、2、…，或列表如下：Xx1x2……xk……Pp1p2……pk……若级数1kkkpx绝对收敛，则称其收敛值为随机变量X的数学期望或均值，记为1)(kkkpxXE．若级数1kkkpx发散，则称随机变量X的数学期望不存在。沈阳大学科技工程学院教案（续页）第次第2页设连续型随机变量X的密度函数为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称此收敛值为X的数学期望或均值。记为)(XE，即dxxxfXE)()(。若积分||()xfxdx发散，则称随机变量X的数学期望不存在。例1设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为X、Y，且分布如下：X8910Y8910P0.30.40.3P0.40.50.1试比较他们的射击水平。解：显然，平均的环数可以作为衡量他们设计水平的一个重要指标。因此，由()80.390.4100.39EX、()80.490.5100.18.7EY可得，甲的射击水平优于、乙的射击水平。例2设连续型随机变量X的密度函数是201()0xxfx其它，求X的均值E（X）。解：012012()()0203xfxdxdxxdxdxEX。二、几种重要分布的数学期望。（1）0-1分布或两点分布分布律：则()0(1)1pppEX。（2）二项分布(,)bnp分布律：{}(1)kknknkCppPX，k=0、1、…、n，由001()nnnkknkkknkknnkkkkpkCpqkCpqEX，因为11(1)(1)(1)(1)!(1)!kknnnnnknnnknCCkkkk，X01P1-pp沈阳大学科技工程学院教案（续页）第次第3页所以11(1)(1)111()()nkknknnknpCpqnppqnpEX。（3）泊松分布()分布律：{}!kkekPX，k=0、1、…，所以，1111()!(1)!(1)!kkkkkkEXkeeeeekkk。连续（4）均匀分布(,)abX~U均匀分布的概率密度为1()0axbfxba其它，因而22()()()2()2bbaaxbaabEXxfxdxxfxdxdxbaba。（5）指数分布指数分布的密度为0()00xexfxx或/10()00xexfxx，000()()()xxxEXxfxdxxedxxdexe0011xxedxe。或()EX。（6）均匀分布2(,)X~N正态分布的密度函数为222)(21)(xexf，所以22()2()()2xtxtxxxfxdxedx或EX2222122tttedtedt。三、随机变量函数的数学期望沈阳大学科技工程学院教案（续页）第次第4页在许多实际问题中，我们经常需要计算随机变量函数的数学期望，例如，飞机机翼受到的压力2WkV的作用，其中V为风速是随机变量，我们需要知道机翼受到的平均压力。为此，下面给出随机变量函数的数学期望的计算公式。定理1设Y为随机变量X的函数：)(XgY(g是连续函数)，（1）X是离散型随机变量，分布律为,2,1),(kxXPpkk；则有)]([)(XgEYE1)(kkkpxg。条件是1)(kkkpxg绝对收敛。（2）X是连续型随机变量，它的分布密度为)(xf，则有()EY[()]()()EgXgxfxdx。条件是dxxfxg)()(绝对收敛。定理1告诉我们：求)(YE时，不必知道Y的分布，而只需知道X的分布就可以了。例3随机变量X的分布律如表3-2：表3-2X0123P21418181求)(),11(),(2XEXEXE．解：87813812411210)(XE966781311812114111121011)11(XE815813812411210)(22222XE定理2设Z是随机变量),(YX的连续函数),(YXgZ，（1）),(YX是二维离散型随机变量，联合分布律为,2,1,),,(jiyYxXPpjiij；则有)],([)(YXgEZE11),(iijjijpyxg。（2）),(YX是二维连续型随机变量，联合分布密度为),(yxf，则有)],([)(YXgEZEdxdyyxfyxg),(),(．沈阳大学科技工程学院教案（续页）第次第5页例4设风速V在（0，a）上服从均匀分布，即它的密度函数是10()0vafva其它，又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数2WkV，求W的数学期望。解：202201()003aakakvfvdvdvkvdvdva（）EW。例5随机变量（X，Y）的联合密度函数是32311,2(,)0xyxxyxfxy其它求数学期望E（Y），E（1/XY）.解：由公式()[(,)](,)(,)EZEgXYgxyfxydxdy，得3211/33()(,)24xxEYyfxydxdydxydyxy。三、数学期望的性质1°．设c是常数，则有ccE)(．2°设X是随机变量，设c是常数，则有)()(XcEcXE．3°设X，Y是随机变量，则有)()()(YEXEYXE．（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况）4°设X，Y是相互独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE．（可推广到有限个随机变量之积的情况）1、2由读者自己证明．我们来证明3和4．我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证．证明:设二维连续型随机变量),(YX的联合分布密度为),(yxf，其边缘分布密度为)(xfX，)(yfY．则)(YXEdxdyyxfyx),()((,)xfxydxdy+dxdyyxfy),(()()EXEY。沈阳大学科技工程学院教案（续页）第次第6页性质3得证．又若X和Y相互独立，此时(,)fxy)(xfX)(yfY，故有)(XYEdxdyyxxyf),([()]Xxfxdx][()]Yyfydy()()EXEY§2方差先看一个例子，设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为X、Y，且分布如下：X8910Y8910P0.40.20.4P0.20.60.2试分析他们技术水平的稳定性。直观上看，甲的射击水平波动较大，属情绪型；相比之下，乙的射击水平波动小，技术水平稳定。我们引用方差反映随机变量与它的均值偏离程度．那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？用)]([XEXE来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；用)((XEXEE来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；因此，通常用})]({[2XEXE来描述随机变量与均值的偏离程度．一、方差的定义定义设X是随机变量，})]({[2XEXE存在，就称其为X的方差，记为)(XD，即)(XD=})]({[2XEXE，称)(XD为标准差，记为)(X．二、方差的计算由定义)(XD=})]({[2XEXE，或)(XD=22()[()]EXEX。证明()DX2{[()]}EXEX})]([)(2{22XEXXEXE22()2()()[()]EXEXEXEX22()[()]EXEXX是离散型随机变量，分布律为,2,1),(kxXPpkk；则()DX12)]([kkkpXEx或()DX221()kkkxpEX。X是连续型随机变量，它的分布密度为)(xf，则()DXdxxfXEx)()]([2或()DX22()()xfxdxEX。沈阳大学科技工程学院教案（续页）第次第7页例1设连续型随机变量X的密度函数是201()0xxfx其它，求X的方差()DX。解：1202()()23xfxdxxdxEX，1223041()()()2918xdxDXEXEXE三、几种重要分布的方差（1）0-1分布或两点分布分布律：则()pEX，22222()()()0(1)1(1)pppppDXEXEX。（2）二项分布(,)bnp分布律：{}(1)kknknkCppPX，k=0、1、…、n，()npEX，得22220()()()()(1)nkknknkkCpqnpnppDXEXEX。（3）泊松分布()分布律：{}!kkekPX，k=0、1、…，()EX，得22221()()()!kkkekDXEXEX。（4）均匀分布(,)abX~U均匀分布的概率密度1()0axbfxba其它，()2abEX，22222()()()()()212baxabbadxbaDXEXEX。（5）指数分布指数分布的密度0()00xexfxx或/10()00xexfxx，X01P1-pp沈阳大学科技工程学院教案（续页）第次第8页1()EX或()EX，2220()()()xxedxDXEXEX或2()DX。（6）均匀分布2(,)X~N正态分布的密度函数为222)(21)(xexf，()EX，22()22222()()()2xxedxDXEXEX四、方差的性质1、设c是常数，则有0)(cD；2、设c是常数，则有)()(2XDccXD；3、设X，Y是独立的随机变量，则有)()()(YDXDYXD例2设),(YX的概率密度函数为1,01(,)0yxxf