概率论与数理统计》第二次平时测试题答案

第1页共3页鲁东大学2010-2011学年第二学期2009级数学与应用数学、统计学、信息与计算科学专业本科卷A参考答案与评分标准课程名称概率论与数理统计课程号（2111900）考试形式（闭卷笔试）时间（120分钟）一、填空题：本题共6小题，每空2分，满分20分。1、1，3；2、61，21；3、13，0，0，29，19；4、2221(,)2xyfxye；5、5/7；6、2/2te。二、单项选择题：本题共4小题，每题3分，满分12分。1、D；2、C；3、B；4、C。三、计算题：本题共6小题，满分68分。1、在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次任取一只。有放回抽样，我们定义随机变量,XY如下：0,1,X若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品；0,1,Y若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品。（1）试写出X和Y的联合分布列；（2）求X的边际分布列；（3）求{0|0}PYX。（14分）解：有放回抽样情况，由于每次取物是独立的。由独立性定义知。{,}{}{}PXiYjPXiPYj101025{0,0}121236PXY，1025{0,1}121236PXY，2105{1,0}121236PXY，221{1,1}121236PXY，………………………………（6分）或写成XY01036253651365361（2）由边际分布与联合分布的关系，知XY0103625365第2页共3页1365361ip5616所以，X的边际分布列为X01kp5616………………………………………（4分）（3）{0,0}25/365{0|0}{0}5/66PXYPYXPX。………………………………………（4分）2、设(,)XY在曲线2yx，yx所围成的区域G内服从均匀分布，求联合概率密度和X的边际概率密度。（8分）解：据题意知，区域G的面积为21016xGxSdydx，由于(,)XY在区域G内服从均匀分布，故(,)XY的概率密度函数为1,(,)6,(,)(,)0,0,GxyGxyGSfxy其它其它。………………………（4分）226,016(),01()(,)0,0,xxXdyxxxxfxfxydy其它其它。………………………（4分）3、设随机变量(,)XY的概率密度为()1(),0,0,(,)20,.xyxyexyfxy其他求ZXY的密度函数。（8分）解：()(,)Zfzfxzxdx，由(,)fxy的表达形式知，当0,0,xy时(,)0fxy，即当0,0xzx，也即0xz时，(,)0fxy，………………………………………（4分）所以，200,0()(,)11,022zZzzzfzfxzxdxzedzzez。……………………………………（4分）4、设二维随机变量(,)XY的概率密度函数为(2),0,0(,)0,xycexyfxy其它，第3页共3页（1）确定常数c；（2）求联合分布函数(,)Fxy；（3）求条件概率密度函数|(|)XYfxy；（4）求{2|1}PXY；（5）求{}PYX。（22分）解：（1）由概率密度函数的完备性，得(2)0011(,)2xyfxydxdycedxdyc，解得2c；………………………………………（4分）（2）(2)002,0,0(,)(,)0,xyxyxyedxdyxyFxyfxydxdyother2(1)(1),0,00,xyeexyother；………………………………………（4分）（3）(2)02,0,0()(,)0,00,0xyyYedxyeyfyfxydxyy……………………………………（3分）当0y时，2|2,0(,)(|)()0,0xXYYexfxyfxyfyx；………………………………………（3分）（4）21(2)400102{2,1}{2|1}1{1}xyydxedyPXYPXYePYedy；……………………………（4分）（5）(2)2000{}(,)22(1)1/3xxyxxyxPYXfxydxdydxedyeedx。……………（4分）5、设(,)XY的概率密度为212,01(,)0,yyxfxyother，求(),()EXEXY。（8分）解：12004()(,)125xEXxfxydxdydxxydy，………………………………………（4分）12001()(,)122xEXYxyfxydxdydxxyydy。………………………………………（4分）6、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。（8分）解：令iX表示第i只元件的寿命，1,2,,16i，据题意知，~(0.01)iXe，()100iEX，2()100iDX，1216,,,XXX相互独立同分布，…………………（3分）所求概率为1616122116100192016100{1920}{}1(0.8)10.78810.21191610016100iiiiXPXP。…（5分）