概率论与数理统计习题三答案

概率论与数理统计习题三参考答案1．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X表示一天中调整设备的次数，求)(XE。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）解：解法一用Y表示10件中次品的个数，则)1.0,10(~BY而X表示一天中调整设备的次数，),4(~pBX，2Ypp1012YPYPYp9110100101.011.01.011CC264.0056.14)(pXE解法二设iX为发现次品数4,3,2,1111,0iXi，，次品数大于发现次品数小于等于则4321XXXXX)()()()()(4321XEXEXEXEXE100次品数等于次品数等于PPXPi9110100101.011.01.01CC743.0264.0011iiXPXP056.1264.04)(XE2．将3只球随机地逐个放入4只编号分别为1，2，3，4的盒子中，以X表示至少有一只球的盒子的最小号码，是求)(XE。解：解法一X可取1、2、3、46437433133323213CCCXP6419422233323213CCCXP6474133332313CCCXP6414143XP162564146473649264371)(XE解法二盒中至少有一个球但无三个球的盒子的最小号码数为X可取1、2、3盒中至少有一个球但无三个球的放法有162414AA种169161231313CCCXP16516121212CCXP1623XP1625162316521691)(XE3．若随机变量X的分布律为ixPii21121i，i=1,2,…….,)(XE是否存在。解：11)(iiiipxXEiiii212111111iii4．设随机变量X的分布律为X202Pk0.40.30.3求)(XE，)(2XE，)53(2XE。解：)(XE2.03.024.028.2)(2XE4.13)53(2XE5.设随机变量X的概率密度为0,)(exxf00xx求（1）XY2，（2）XeY2的数学期望。解：022)(2)2(dxxedxxxfXExdxxfeeExx)()(220331dxex6．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为,0,12),(2yyxf其他10xy求)(XE，)(YE，)(XYE，)(22YXE。解：dyydyyxfxfxX0212),()(=10,43xx)(XE544)(103dxxxdxxxfX同理求得：53)(YEGdxdyyxxyfXYE),()(21121002dyyxydxx)(22YXEGdxdyyxfyx),()(22151612)(100222dxyyxdxx7．设随机变量1X、2X的概率密度分别为,0,2)(21exxf00xx,0,4)(42exxf00xx（1）求)(21XXE，)32(221XXE；（2）又设1X、2X相互独立，求)(21XXE。解：（1）据期望的性质)(21XXE)()(21XEXEdxxxfdxxxf)()(21dxexdxexxx40242434121)32(221XXE)(3)(2221XEXEdxxfx223212dxexx424321285（2）若1X、2X相互独立)(21XXE))(21XEXE（8141218．将n只球（1~n号）随机地放进n只盒子（1~n号）中去，一只盒子只能装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，则称为一个配对。记X为总的配对数，求)(XE。解：设只球装入同号盒第只球没有装入同号盒第iixi,1,0则ix的分布律为ix01ipn11n1nxxx21,相互独立nxxxx2111)()()()(21nnxExExEXEn9．设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为,0,2)(xxfX其他10x,0,)(eyYyf其他0y求)(YXD。解：因为X，Y相互独立)()()(YDXDYXD又22)()()(XEXEXDdxxfxXEX)()(22212102xdxxdxxfxXEX)()(322210dxx181)()()(22XEXEXD同理求得1)(YD)()()(YDXDYXD181910.社随机变量X的数学期望为)(XE，方差为)(XD（)(XD0），引入新的随机变量X*=)()(XDXEX，验证)(XE=0，)(XD=1。X*称为标准化的随机变量。解：)(XE))()((XDXEXE0)())((XDXEXE)(XD))()((XDXEXD1)())((XDXEXD其中)((XEXD）22))(())((XEXEXEXE)(0))()(2(22XDXEXXEXE11.已知)(XE=1，)(2XE=3，)(YE=0，)(2YE=2，)(XYE=1，求)(YXD。解：)(YXD22)()(YXEYXD222)()(2YEXEYXYXE)()()(2)(()(2)2222YEYEXEXEYEXYEXE6122312.设二维随机变量YX,具有概率密度,0,1),(yxf其他10,xxy求)(XE，)(YE，),(YXCOV.解：xdydyyxfxfxxX21),()(，10x)(XE322)(102dxxdxxxfX211),()(11dxdxdxyxfyfyyY)(YE02)(11dyydyyyfYGdxdyyxxyfXYE),()(10xxxydydx=0),(YXCOV)(XYE)(XE)(YE=013.设二维随机变量YX,具有概率密度,0),(81),(yxyxf其他20,20yx求)(XE，)(YE，),(YXCOV,XY,)(YXD.解：4181),()(20xdyyxdyyxfxfX，20x据函数的对称性知：41)(yxfY，20y)(XE)(YE674)(202dxxxdxxxfXGdxdyyxxyfXYE),()(3482020dyyxxydx),(YXCOV)(XYE)(XE)(YE361676734)((),(YXyDDYXCovXY22)()()(XEXEXDdxxfxXEX)()(223541202dxxx3611364935)(XD)(YD)((),(YXyDDYXCovXY1113611361)(YXD),(2)()(YXCovYDXD9514.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为,0,1),(yxf其他122yx试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。解：211121),()(22xdydyyxfxfxxX同理212),()(ydxyxfyfY），（yxfyfxfYX所以X和Y不是相互独立又）（XYEGdxdyyxxyfXYE),()(01111122dyxydxxx)(XE)(YE012)(211dxxxdxxxfX0）（）（）（），（YEXEXYEYXCov)(2XEXD）（2)(）（XE=1=）（YD)(2XE112)(21122dxxxdxxfxX010）（）（），（YDXDYXCovXY所以X和Y是不相关。15、16、17、18、19、20、某个单位设置一个电话总机，共有200个分机。设每个分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线通话时可供使用。分析：“同时有多少个分机要使用外线”“总机处有多少条外线可供使用”设X表示要求使用外线的分机数。X~b(200,0.05)设总机处有n条外线，P{X≤n}≥0.9由德莫佛—拉普拉斯定理:,10)(npXE,5.91)(pnpXD}5.9105.910{}{nXPnXP9.0)5.910(n查表得14285.15.910nn