概率论与数理统计总结之第三章

第三章多维随机变量及其分布二维随机变量：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}.设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量。设（X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数：)}(){(),(yYxXPyxF),(yYxXP称为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或称随机变量X和Y的联合分布函数分布函数F(x,y)具有以下基本性质：1.F（x,y)是变量x和变量y的不减函数，即对于任意固定的y，当);,(),(,1212yxFyxFxx对于任意固定的x，当),(),(,1212yxFyxFyy2.0≤F(x,y)≤1，且对于任意固定的y，F（-∞，y)=0,对于任意固定的x,F（x，-∞)=0，F（-∞，-∞）=0，F（∞，∞）=13.F(x,y）=F(x+0,y），F(x,y+0），即F(x,y）关于x右连续，关于y也右连续4.对于任意,,),,(),,(21212211yyxxyxyx下述不等式成立0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF离散型随机变量：如果二维随机变量（X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称（X,Y）是离散型随机变量称,2,1,,},{jipyYxXPijii……为二维离散型随机变量（X,Y）的分布律，或随机变量X和Y是联合分布律表格形式表示联合分布律：YX1x…ix…1y11p…1ip…………jyjp1…ijp…………离散型随机变量X和Y的联合分布函数为xxyyijiipyxF),(，其中和式是对一切满足yyxxii,的i,j来求和的连续型随机变量：对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F（x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)使得对于任意x,y有yxdudvvufyxF),(),(，则称（X,Y）是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量（X,Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度概率密度的性质：1.f(x,y)≥02.1),(),(Fdxdyyxf3.设G是xOy平面上的区域，点（X,Y）落在G内的概率为GdxdyyxfGYXP),(}),{(4.若f(x,y)在点（x,y）连续，则有),(),(2yxfyxyxF一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e},设),(),(2211eXXeXX…),(,eXXnn是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量,,(21XX…),nX叫做n维随机向量或n维随机变量对于任意n个实数nxxxn,,^,,21元函数},^,{),^,(111nnnxXxXPxxF称为n维随机变量,,(21XX…),nX的分布函数或随机变量nXXX,^,,21的联合分布函数。边缘分布二维随机变量（X,Y)作为一个整体，具有分布函数F（x,y)。而X和Y都是随机变量，各别也有分布函数，将它们分别记为)(),(yFxFYX，依次称为二维随机变量（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布函数边缘分布函数可以由（X,Y）的分布函数F（x,y)所确定：),,(},{}{)(XFYxXPxXPxFx即),()(xFxFX，同理得，),()(yFyFY对于离散型随机变量，有),()(xFxFXxxjijjp1ip=,2,1,}{1ipxXPjiji…jp=,2,1,}{1jpyYPiijj…分别称为（X,Y)关于X和关于Y边缘分布律对于连续型随机变量（X,Y），设它的概率密度为f(x,y），有dxdyyxfxFxFxX),(),()(有X的概率密度：dyyxfxfX),()(同理，dxyxfyfY),()(jyYP{分别称)(),(yfxfYX为（X,Y）关于X和关于Y的边缘概率密度条件分布：设（X,Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若0}{jyYP，则称ixXP{｜,2,1,}{},{}ippyYPyYxXPyYjijjjij…为在jyY条件下随机变量X的条件分布律同样地，若,0}{ixXP则称jyYP{｜,2,1,}{},{}jppxXPyYxXPxXiijijii…为ixX条件下随机变量Y的条件分布律设二维随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为)(yfY。若对于固定的y,,0)(yfY则称)(),(yfyxfY为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为)(),()|(|yfyxfyxfYYX称dxyfyxfdxyxfxYxYX)(),()|(|为在Y=y的条件下，X的条件分布函数，记为P{X≤x|Y=y}或)|(|yxFYX，即dxyfyxfyYxXPyxFxYYX)(),(}|{)|(|设F(x,y)及)(),(yFxFYX分别是二维随机变量（X,Y）的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y},即)()(),(yFxFyxFYX，则称随机变量X和Y是相互独立的设（X,Y）是连续型随机变量，)(),(),,(yfxfyxfYX分别为（X,Y）的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件等价于)()(),(yfxfyxfYX在平面上几乎处处成立（除去面积为0的集合以外，处处成立）定理：设,,(21XX…),mX和,,(21YY…)nY相互独立（即,,(21xxF…,,,,21yyxm…,(),11xFyn…,(),12yFxm…),ny），则,2,1(iXi…),m和,2,1(jYj…),n相互独立。又若h,g是连续函数，则h,,(21XX…),mX和g,,(21YY…)nY相互独立。两个随机变量的函数的分布：1.Z=X+Y的分布设（X,Y）的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为zyxZdxdyyxfzZPzF),(}{)(这里的积分区域G：x+y≤z是直线x+y=z及其左下方的半平面zyxZdxdyyxfzZPzF),(}{)(=yzdydxyxf]),([令x=u-y，得zzZdudyyyufdudyyyufzF]),([),()(于是有Z的概率密度为dyyyzfzfZ),()(由X,Y的对称性，得dxxzxfzfZ),()(卷积分公式（记为YXff)：YXff=dxxzfxfdyyfyzfYXYX)()()()(有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2.M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为)(),(yFxFYX1）M=max(X,Y)}{}{},{}{)(maxzYPzXPzYzXPzMPzF，即)()()(maxzFzFzFYX2）N=min(X,Y)},{1}{1}{)(minzYZXPZNPzNPzF=}{}{1zYPzXP,即)](1)][(1[1)(minzFzFzFYX一般地，设nXXX,^,,21是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为),^,2,1)((nixFiXi，则),^,,max(21nXXXM及)^,,min(21nXXXN的分布函数分别为)()()(21maxzFzFzFXX…)(zFnX，)](1)][(1[1)(21minzFzFzFXX…)](1[zFnX