概率论与数理统计教学计划

《概率论与数理统计》教学计划一、课程说明概率统计是一门重要的理论性基础课，是研究随机现象统计规律性的数学学科，本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。通过本课程的学习，要使学生初步理解和掌握概率统计的基本概念和基本方法，了解其基本理论，学习和训练运用概率统计的思想方法观察事物、分析事物以及培养学生用概率统计方法解决实际问题的初步能力。概率统计的理论和方法的应用是非常广泛的，几乎遍及所有科学技术领域，工农业生产和国民经济的各个部门，例如使用概率统计方法可以进行气象预报，水文预报以及地震预报，产品的抽样检验，在研究新产品时，为寻求最佳生产方案可以进行试验设计和数据处理，在可靠性工程中，使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性以及平均寿命的估计，在自动控制中，可以通过建立数学模型以便通过计算机控制工业生产，在通讯工程中可用以提高抗干扰和分辨率等。二、课程内容与考核目标第一章概率论的基本概念㈠考核知识点⒈随机试验；⒉样本空间、随机事件；⒊频率与概率；⒋等可能概型（古典概型）；⒌条件概率；⒍独立性。㈡考核要求1、理解随机实验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念。2、理解样本空间、样本点的概念，会用集合表示样本空间和事件。3、掌握事件的基本关系与运算。4、了解频率与概率的统计定义。5、掌握古典概率的计算。6、了解概率的公理化定义，掌握用概率的性质求概率的方法。7、理解和掌握条件概率，乘法公式、全概率公式和Bayes公式。8、理解事件的独立性，会求有关的概率。第二章随机变量及其分布㈠考核知识点⒈随机变量⒉离散型随机变量及其分布⒊随机变量的分布函数⒋连续型随机变量及其概率密度⒌随机变量的函数的分布㈡考核要求1、理解随机变量的概念。2、理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质。3、掌握(0-1)分布、二项分布、Poisson分布的概念、性质。4、熟练掌握分布函数的定义及其性质。5、理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质。6、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质。7、掌握一维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布㈠考核知识点⒈二维随机变量⒉边缘分布⒊条件分布⒋相互独立的随机变量⒌两个随机变量的函数的分布㈡考核要求1、了解多维随机变量及其分布函数的定义。2、理解二维离散型与连续型随机变量的定义。3、掌握二维离散型随机变量的联合分布律和边缘分布律。4、了解联合概率密度函数和边缘概率密度函数的关系，会求边缘概率密度。5、了解条件分布的概念并会进行计算。6、了解随机变量独立性的概念。7、知道随机变量函数的分布，掌握两个随机变量的和的函数的分布第四章随机变量的数字特征㈠考核知识点⒈数学期望⒉方差⒊协方差及相关系数㈡考核要求1、理解数学期望、方差的定义，熟练掌握数学期望和方差的基本性质。2、掌握随机变量函数的数学期望、方差的求法。3、了解协方差、相关系数的概念。第五章大数定律及中心极限定理㈠考核知识点⒈大数定律⒉中心极限定理㈡考核要求1、了解大数定律的直观意义。2、掌握Chebyshev不等式。3、知道Chebyshev大数定理和贝努里大数定理。4、会用中心极限定理求概率。第六章样本及抽样分布㈠考核知识点⒈随机样本⒉抽样分布㈡考核要求1、理解数理统计的基本概念。2、理解2分布、t分布、了解F分布的定义并会查表计算。3、理解正态总体的某些常用统计量的分布。4、知道样本均值和方差的计算。第七章参数估计㈠考核知识点⒈点估计⒉基于截尾样本的最大似然估计法⒊估计量的评选标准⒋区间估计⒌正态总体均值与方差的区间估计⒍（0-1）分布参数的区间估计⒎单侧置信区间㈡考核要求1、了解估计量的优劣标准。2、掌握矩估计法和极大似然估计法。3、掌握正态总体均值和方差的置信区间。三、复习题重点㈠选择题⒈骰子是一个正六面体，各面分别标有1，2，3，4，5，6，在进行抛掷骰子的随机试验中，A={出现偶数}，B={出现小于5的数}，则A-B=（C）。A{出现1，2}B{出现2，4，6}C{出现6}D{出现3，5}⒉设随机变量X的概率密度为)(xf1,01,12xxCx,求C=(B).AB1C2D2⒊设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度为),(yxf其它,000,)32(yxAeyx,求常数A=(C)。A61B2C6D3⒋设X，Y相互独立，且D（x）=3,D(y)=4,求D（X-Y）是（A）。A7B-1C1D5⒌设抽样得到样本值如下：17.3,16.9,18.2,17.7,16.5,18.5,15.9,16.8,18.3,17.6,17.9,18.4,求X为(B).A18B17.5C19D20⒍袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，取后不放回，求取出的两个都是白球的概率是（A）。A101B52C53D51⒎设随机变量X的概率密度为)(xf1,01,112xxx求X落入（-3，21）的概率（C）。A31B21C32D43⒏设二维随机变量（X，Y）是具有概率密度),(yxf其它,000,)2(yxCeyx，求C=（B）。A1B2C21D3⒐设X～N（0，1），令XY2，则X与Y（C）。A相互独立B相关C不相关D以上都不对⒑设,,21XX…Xn是来自总体X的一个样本，设E（X）=，D（X）=2，记X是样本均值，S2是样本方差，则E(S2)=(C)。AB2C2Dn2㈡填空题⒈三门高射炮对一架敌机一齐各发一炮，它们的命中率分别为10％，20％，30％，求敌机至少中一弹的概率0.496。⒉若X服从泊松分布，则P{X=k}=,1,0(!kkek…）。⒊设随机变量（X，Y）的概率密度为),(yxf其它且,010,1xxy，求)|(|xyfXYx21，xy0，y取其它值。⒋设X～U（2，6），则D（X）=34。⒌若F～F（nn21,），则F1～),(12nnF。⒍某车间中，一位工人操作甲、乙两台没有联系的自动车床，由经验可知，这两台车床在某段时间里停车的概率分别为0﹒15和0﹒2，这段时间里至少有一台不停车的概率是0．97。。⒎已知某种电子管的寿命X（小时）服从指数分布，概率密度为)(xf0,00,100011000xxex，求这种电子管能使用1000小时以上的概率e1。⒏设随机变量（X，Y）的概率密度),(yxf其它,0,62xyx求（X，Y）关于X的边缘概率密度)(xfX其它,010),(62xxx。⒐设二维连续随机变量（X，Y）的概率密度为),(yxfyx2，当10,10yx，则E（XY）=61。⒑若2～)(2n，则D（2）=2n。㈢计算题⒈一批晶体管元件，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％。它们能工作5000小时以上的概率分别为90％，80％，70％。求任取一个元件能工作5000小时以上的概率。解：令Bi={取到元件为i等品}（i=1,2,3）,A={取到的元件能工作5000小时以上}，则)|()()|()()|()()(332211BBBBBBAPPAPPAPPAP=95％×90％+4％×80％+1％×70％=0．894⒉设随机变量X的分布列X12…n…P2141…21n…求随机变量)2sin(xY的分布列。解：因为)2sin(x34,12,014,1knknkn,(k=1,2,…)所以随机变量)2sin(xY只有三个可能：-1，0，1。由于X取值3，7，11，…都对应Y的值-1，因此，P{Y=-1}=2221173111+…=152161181同理，P{Y=0}=222642111…=3141141P{Y=1}=25121…=158161121于是得到Y分布列Y-101P15231158⒊设X，Y是相互独立的随机变量，都服从标准正态分布N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。解：efxxX2221)()(xefyyY2221)()(y则dxxzxzfffYXZ)()()(=dxxzxee22)(2122=dxzxzee)2(21224令2zxt,得dttzzeefZ22421)(=ez4221=ez4221⒋设随机变量X具有概率密度)(xf其它,010,101,1xxxx，求D（X）。解：E（X）=1001)1()1(dxxxdxxx=0E（X2）=102012)1()1(dxxdxxxx=61D（X）=E（X2）－)]([2XE=61⒌某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。（78810)80(）解:设第i只电器元件的寿命为Xi（i=1，2，…，16）E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10000161iiXZP{1920161nniiX}=P{19201001610016Z}=1－)40016001920(=1－)80(=0．2119⒍电报信号由“·”与“—”组成，设发报台传送“·”与“—”之比为3:2，由于通讯系统存在干扰，引起失真。发出“·”而收到“—”的概率为0．2，发出“—”而收到“·”的概率为0．1。若收报台收到信号“·”，求发报台确实发出“·”的概率。解：令B1{发送“·”}，B2={发送“—”}，A={收到“·”}，则6.0){1BP，4.0)(2BP，8.0)|(1BAP，1.0)|{2BAP，)|()()|()()|()()|(2211111BBBBBBBAPPAPPAPPAP=1.04.08.06.08.06.0=0.923⒎设随机变量X服从正态分布),(2N，令eXY，求随机变量Y的概率密度)(yfY。解：Y是恒取正值的随机变量，所以当0y时，0)(yfY。当y0时，exy的反函数为yxln，则yyyefY1.)(ln21)(22，从而)(yfYeyy22)(ln21，y00,y≤0⒏设随机变量（X，Y）的分布函数为)3arctan()2arctan(),(yCxBAyxF，求：⑴常数A，B，C⑵（X，Y）的概率密度。解:⑴由分布函数性质1)2)(2(),(CBAF0)2)(2arctan(),(CxBAxF0)3arctan)(2(),(yCBAyF从第二式，2C；第三式，2B，解得21A。⑵)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF从而概率密度)9)(4(6),(),(2222yxyxFyxyxf⒐设随机变量X，Y相互独立，且X的概率密度为)(xf0,00,22xxexY的概率密度为)(yf0,00,44yyey，求：⑴E（X+Y）⑵E（XY）。解：⑴E（X+Y）=dyyyfdxxxf)()(=dyydxxeeyx040242=4121=43⑵E（XY）=E（X）E（Y）=814121⒑计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近于它的整数来计算。设所有取整误差是相互独立的随机变量，且服从均匀分布U[-0．5，0．5]。求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。（9772.0)2(）解：设Xi为第i个加数的取整误差，E（Xi）=0，D（Xi）=121（i=1,2,…,300）。P{1030