概率论与数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布)

1习题6（多维随机变量及联合分布）一．填空题1.设随机变量X在1，2，3，4中随机取值，随机变量Y在1到X中随机取整数值，则二维随机变量),(YX的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为；；.概率)(YXP.2.若二维随机变量),(YX的联合概率分布为18.012.012.008.011101baXY，且X与Y相互独立，则a；b.3.设区域1,1yxD：，二维随机变量),(YX在D上服从均匀分布，则它的联合密度函数),(yxf；)1(YXP.4.设),(YX是二维相互独立的随机变量，且)4,0(~UX，)5(~eY，则概率)1,2(YXP.二．解答题1.若随机变量X服从6.0p的10分布，)5.0,2(~BY，且X与Y相互独立，求二维随机变量),(YX的联合概率分布及概率).(YXP22.设X与Y是相互独立的随机变量，)1,0(~UX，)2(~eY.写出二维随机变量),(YX的联合密度函数),(yxf，并求t的二次方程0222YXtt有实根的概率。3.若二维随机变量),(YX的联合概率密度为,0,),(kxyxf.,,10其它xyx（1）求k值；（2）求两个边缘概率密度)(xfX及)(yfY；（3）讨论随机变量X与Y的相互独立性；（4）求概率)5.0(XP及).1(YXP3习题7（多维随机变量函数的分布）一．填空题1.若随机变量X的概率分布为1.04.03.02.02101pX，记12XY，12XZ，则随机变量Y与Z的概率分布列分别为：；.2.若二维随机变量),(YX的联合概率分布为02.02.031.001.021.02.01.01101XY，则随机变量YX的概率分布列为.3.若随机变量X的概率函数为6.04.011PX，随机变量)5.0,2(~BY，且X与Y相互独立，则随机变量XY与XY的概率函数分别为：；.二．解答题1.若随机变量X的概率密度为,0,)1(2)(2xxfX.0,0xx求随机变量XYln概率密度函数).(yfY42.若随机变量)1,0(~UX，记XeY，求Y的概率密度函数).(yfY3.若随机变量X的概率密度为,0,2)(xxfX.,10其它x求随机变量XY1及2XZ的概率密度函数)(yfY及)(zfZ.4.设二维随机变量),(YX的联合概率密度为,0(),(21yxf,)yxeyx.,0,0其它yx求随机变量YXZ的概率密度函数).(zfZ5习题8（随机变量的数字特征）一．填空题1.若随机变量X的概率分布为1.03.03.01.02.042101PX，则)(XE；)13(XE；)(XD.2.若X的概率密度为)(,21)(xexfx，则)(XD.3.若随机变量X的分布函数为,1,4/,0)(xxF,440,0xxx则数学期望)(XE；方差)(XD.4.若随机变量X与Y相互独立，且)1,1(~UX，)4(~eY，则)(YXE；)(XYE；)(YXD.5.若相互独立的随机变量X与Y满足1)()(YEXE，2)(XD，4)(YD，则])[(2YXE.二．选择题1.若随机变量X服从二项分布),(pnB则下列式子中正确的是（）.①npXE2)12(；②14)12(npXE；③1)1(4)12(pnpXD；④)1(4)12(pnpXD.2.若随机变量X与Y相互独立，且1)()(YDXD，则)24(YXD（）.①20；②12；③6；④2.3.若随机变量X服从区间)4,0(上的均匀分布，则)(XeE（）.①2e；②4e；③)1(44e；④)1(441e6三．解答题1.若随机变量X的概率密度为,0)(axf,2cxbx.,10其它x且21)(XE，201)(XD，求常数.,,cba2.若二维随机变量),(YX.在圆域122yxD：上服从均匀分布，求).(),(),(XYDXYEXE3.在国际市场上，每年对我国某种产品出口的需求量X（单位：t）是一个随机变量，且)4000,2000(~UX.若每出口1（t）可得外汇3万元，如果销售不出去，每吨需要保养费1万元。问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？7习题9（协方差，相关系数）一．填空题1.若随机变量X服从区间)1,1(上的均匀分布)1,1(U，则X的k阶中心矩)(Xk.2.若随机变量X与Y满足3)()(YDXD，相关系数21),(YXR，则)(YXD；)23(YXD.3.若随机变量X与Y满足)()(YXDYXD，则协方差),cov(YX.二．选择题1.若随机变量X与Y满足21XY，则相关系数),(YXR（）①1；②-1；③0.5；④-0.5.2.随机变量X与Y的协方差0),cov(YX是X与Y相互独立的（）条件.①充要；②充分；③必要；④即非充分又非必要.三．解答题1.设二维随机变量),(YX的联合分布列为8/18/18/118/108/108/18/18/11101XY，证明X与Y不相关，但X与Y不相互独立。82.盒子中装有标号为1，2，2的三只球，不放回随机取两次，每次取一球。用X与Y分别表示第一、二两次取到球的号数，求相关系数).,(YXR3.若二维随机变量),(YX服从区域1yx.上的均匀分布，求).,(YXR4.若二维随机变量),(YX的概率密度,0,8),(xyyxf.,0,10其它xyx求相关系数).,(YXR