概率论与数理统计教程习题(第四章大数定律与中心极限定理)

1习题10（切比雪夫不等式）一．填空题1.设随机变量X的数学期望)(XE，方差2)(XD，则由切比雪夫不等式，得)3(XP.2.随机掷6枚骰子，用X表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得)2715(XP.3.若二维随机变量),(YX满足，2)(XE，2)(YE，1)(XD，4)(YD，5.0),(YXR，则由切比雪夫不等式，得)6(YXP.4.设,,,,21nXXX是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(iXE，)(iXD一致有界),,,2,1(ni，则)(lim1nXPniin.二．选择题1.若随机变量X的数学期望与方差都存在，对ba，在以下概率中，（）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。①)(bXaP；②))((bXEXaP；③)(aXaP；④))((abXEXP.2.随机变量X服从指数分布)(e，用切比雪夫不等式估计)1(XP（）.①；②2③4；④1.2三．解答题1.已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X是一个随机变量，若7300)(XE，2700)(XD，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。2.如果nXXX,,,21是相互独立、同分布的随机变量序列，)(iXE，8)(iXD),,2,1(ni.记niiXnX11，由切比雪夫不等式估计概率)4(Xp.3.设,,,,21nXXX是相互独立、同分布的随机变量序列，0)(iXE，2)(iXD，)(4iXE存在，且一致有界),,,2,1(ni.对任意实数0，证明1)1(lim122niinXnP.311（特征函数）一．填空题1.若随机变量X服从正态分布)4,2(N，则)3(XP.)40(XP，)1(XP.2.若随机变量~X),(2N，且)()(cXPcXP，则c.3.若随机变量~X),2(2N，且3.0)42(XP，则)0(XP.4.若X服从正态分布),(2N，记)(kXkP.当9.0时，k，当95.0时，k.5.随机变量21,XX相互独立，且都服从标准正态分布，记21432XXY，则Y概率密度)(yfY.二．选择题6.若随机变量nXXX,,,21相互独立，且),(~2NXi),,2,1(ni，则)1(1niiXnD（）①2；②2n；③n/2；④22/n.7.若随机变量YX,相互独立，且都服从正态分布),(2N.设YX，YX，则),cov(（）.①22；②1；③1；④0.8.若随机变量YX,满足)3,1(~2NX，)4,0(~2NY，2/1),(YXR，则)23(YXD（）.①5；②4；③3；④2.4三．解答题1.某种电池的寿命X（单位：h）服从正态分布)35,300(2N.（1）求寿命大于250小时的概率，（2）求x，使寿命在x300之间的概率不小于0.9.2.测量某一目标的距离时，随机误差)40,0(~2NX（单位：m）.（1）求)30(XP，（2）若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。3.一商店对某种家电采用先使用后付款的方式销售，使用寿命X（单位：年）与销售单价Y（单位：元）关系如下：XX22≤X44≤X6X≥6Y1500200025003000若X~N(5,4),求平均售价。4.若随机变量)1,0(~NX，设XeY，求随机变量Y的概率密度)(yfY.512（中心极限定理）一．填空题1.若随机变量X与Y相互独立，且都服从标准正态分布，则),(YX的联合概率密度为),(yxf.2.若二维随机变量),(YX的联合概率密度为),(,31),(]3)2(3)2)(1()1[(3222yxeyxfyyxx则)(XD，)(YD，),(YXR.3.若随机变量X服从二项分布)8.0,10000(B，由中心极限定理，有)408000(XP.二．选择题1.若二维随机变量),(YX服从二元正态分布),,,,(22rNyxyx,则X与Y不相关是X与Y不相互独立的（）条件。①充分且必要；②充分但不必要；③必要但不充分；④即不充分也不必要.2.若随即变量序列,,,,21nXXX相互独立，且都服从参数为的泊松分布)(P，当X（）时.)()(limxxXPn.（其中)(x为标准正态分布的分布函数）.①nnXnii1；②nnXnii1；③nnXnii1；④nnXnii1.三．解答题61.30个独立使用的电子元件，它们的寿命iT都服从指数分布，且每个元件的平均寿命都为100（h），其使用情况是：一个损坏后，另一个立即起用。记301iiTT，求总寿命T超过3500（h）的概率。2.如果计算机在进行加法运算时，对每个加数取整，若每个加数产生的误差iX是相互独立，且服从区间)5.0,5.0(上的均匀的随机变量。(1)求将1500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率，(2)问最多几个数相加，可使误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%.3.某车间有200台独立工作的机床，同一时刻只有60%的机床在开动。每台机床开动时耗电量为E，问至少要供给该车间多少电能才能以99.9%的概率保证车间不因供电不足而影响生产。